民國111年 高考三級 經建行政 統計學
第3題
假設W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令ߤ代表平均每個月的竊 盜案件數、ܺ代表過去36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打 算以{ܺ> 20.64} 做…
題目
假設W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令ߤ代表平均每個月的竊 盜案件數、ܺ代表過去36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打 算以{ܺ> 20.64} 做為檢定ܪ：ߤ= 20 ݒݏ. ܪଵ：ߤ> 20的拒絕域。假設 這36 個月的竊盜案件數之樣本平均數為21、樣本標準差為3。 試求該檢定之型一錯誤（Type I error probability）為多少？（10 分） 試求在ߤ= 21.28 時之型二錯誤（Type II error probability）為多少？ （10 分） 承子題 ，若樣本數提高為50，而拒絕域不變，試問型二錯誤將增加 或降低？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定架構：H0：μ=20 對 H1：μ>20，拒絕域為 X̄>20.64，n=36。母體標準差未知，以樣本標準差 s=3 估計，標準誤 SE=s/√n=3/6=0.5，依 CLT 採常態近似（嚴格作法應採 t 分配）。
- 二、型一錯誤（Type I error）機率：α=P(拒絕 H0|H0 為真)=P(X̄>20.64|μ=20)=1－Φ[(20.64－20)/0.5]=1－Φ(1.28)=1－0.8997=0.1003，約 0.10，即約 10% 的機率會誤判竊盜案件增加。
- 三、型二錯誤（Type II error）機率：β=P(不拒絕 H0|μ=21.28)=P(X̄≤20.64|μ=21.28)=Φ[(20.64－21.28)/0.5]=Φ(－1.28)=0.1003，檢定力（power）為 1－β=0.8997。此處 α 與 β 恰好相等，係因拒絕域臨界值剛好落在兩假設值的中點。
- 四、樣本數增至 n=50：SE=3/√50=0.4243，β=Φ[(20.64－21.28)/0.4243]=Φ(－1.5085)=0.0657，故型二錯誤「降低」（由 0.1003 降至 0.0657）。直觀理由為樣本數增加使 X̄ 的抽樣分配變窄，真實 μ 與臨界值的差距以標準誤衡量後放大，更易落入拒絕域；附帶地 α 亦降為 0.0657。
- 五、補充：若以 t 分配處理未知 σ（df=35），臨界值 t_{0.05,35}=1.6896，則 α=P(t>1.28)≈0.104，略高於常態近似值；小樣本或要求嚴謹時宜採 t 檢定並說明。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。