民國111年 高考三級 農業行政 統計學
第3題
假設W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令ߤ代表平均每個月的竊 盜案件數、ܺ代表過去36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打 算以{ܺ> 20.64} 做…
題目
假設W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令ߤ代表平均每個月的竊 盜案件數、ܺ代表過去36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打 算以{ܺ> 20.64} 做為檢定ܪ：ߤ= 20 ݒݏ. ܪଵ：ߤ> 20的拒絕域。假設 這36 個月的竊盜案件數之樣本平均數為21、樣本標準差為3。 試求該檢定之型一錯誤（Type I error probability）為多少？（10 分） 試求在ߤ= 21.28 時之型二錯誤（Type II error probability）為多少？ （10 分） 承子題 ，若樣本數提高為50，而拒絕域不變，試問型二錯誤將增加 或降低？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定設定：H₀: μ=20 對 H₁: μ>20（右尾檢定），拒絕域R={X̄>20.64}，n=36。以樣本標準差s=3估計母體標準差，故標準誤σ_X̄=3/√36=3/6=0.5。
- 二、型一錯誤（Type I error）機率：α=P(拒絕H₀|H₀為真)=P(X̄>20.64|μ=20)=1−Φ((20.64−20)/0.5)=1−Φ(1.28)=1−0.8997=0.1003，約10.03%。
- 三、型二錯誤（Type II error）機率：β(21.28)=P(不拒絕H₀|μ=21.28)=P(X̄≤20.64|μ=21.28)=Φ((20.64−21.28)/0.5)=Φ(−1.28)=0.1003，約10.03%；對應之檢定力（power）=1−β=0.8997。
- 四、n提高為50而拒絕域不變時，σ_X̄=3/√50=0.4243，β=Φ((20.64−21.28)/0.4243)=Φ(−1.508)=0.0658，較原0.1003降低。理由：樣本數增加使標準誤縮小、X̄分配更集中，μ=21.28下之分配更遠離臨界值，故型二錯誤下降、檢定力上升；此即檢定力函數（power function）隨n增大而更陡峭之展現。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。