有關於汽車碳氫化合物排放量（克/英里）的研究，記錄碳氫化合物排放 量Y（100克/公里），和相對應的累積里程數X（以1000公里為單位）。初步 整理樣本資料如下…

題目

有關於汽車碳氫化合物排放量（克/英里）的研究，記錄碳氫化合物排放 量Y（100克/公里），和相對應的累積里程數X（以1000公里為單位）。初步 整理樣本資料如下所示： 190.2356 212.9375 4086.6461 n n n i i i i i i n x y x ， ， ， ， 4152.344 3808.8281 n n i i i i i y x y ， 。 使用以上資料回答下列問題，請詳細將所使用之公式及計算過程列出。 （每小題9分，共36分） 計算最小平方迴歸線。（計算至小數點後4位數） 迴歸判定係數（ܴଶ）為何？ 顯著水準為0.05，檢定迴歸斜率是否顯著異於0.16。 在x=25時，求對應之反應變數Y預測值的95%預測區間。 （10,0.025 9,0.025 10,0.05 9,0.05 2.228 2.262 1.812 1.833 t t t t ， ， ， ）

參考解答（AI 生成，非官方）

• （一）依題意樣本數 n=12。由資料得 xbar=190.2356/12=15.8530、ybar=212.9375/12=17.7448。計算離差平方和：Sxx=4086.6461-(190.2356)^2/12=1070.8475；Sxy=3808.8281-(190.2356)(212.9375)/12=433.1370；Syy=4152.344-(212.9375)^2/12=373.8124。
• （二）最小平方迴歸線為 yhat=b0+b1x，其中 b1=Sxy/Sxx=433.1370/1070.8475=0.4045，b0=ybar-b1 xbar=17.7448-0.4045×15.8530=11.3326。故 yhat=11.3326+0.4045x；斜率表示 X 每增加 1 單位，Y 平均增加約 0.4045 單位。
• （三）判定係數 R^2=SSR/SST=Sxy^2/(SxxSyy)=(433.1370)^2/(1070.8475×373.8124)=0.4687。亦可由 SSE=Syy-Sxy^2/Sxx=198.6169，R^2=1-SSE/Syy=0.4687 得到；表示 X 可解釋 Y 約 46.87% 的變異。
• （四）檢定 H0:β1=0.16 對 H1:β1≠0.16。MSE=SSE/(n-2)=198.6169/10=19.8617，SE(b1)=√(MSE/Sxx)=√(19.8617/1070.8475)=0.1362。t=(0.4045-0.16)/0.1362=1.795；df=10，α=0.05 雙尾臨界值為 2.228。因 |t|=1.795<2.228，不拒絕 H0，尚無充分證據顯示斜率異於 0.16。
• （五）x0=25 時，yhat0=11.3326+0.4045×25=21.4446。95% 預測區間為 yhat0±t_{10,0.025}√{MSE[1+1/n+(x0-xbar)^2/Sxx]}。代入得 21.4446±2.228√{19.8617[1+1/12+(9.1470)^2/1070.8475]}=21.4446±10.7010，即約 (10.7436, 32.1456)。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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