民國110年 高考三級 交通技術 統計學
第3題
食用燕麥糠是否為一種有效降低膽固醇的方法？早期的研究指出，每日 食用燕麥糠可降低5% 到10% 的膽固醇標準。這項研究報告導致許多 新式早餐的穀類食品皆推行含有…
題目
食用燕麥糠是否為一種有效降低膽固醇的方法？早期的研究指出，每日 食用燕麥糠可降低5% 到10% 的膽固醇標準。這項研究報告導致許多 新式早餐的穀類食品皆推行含有不同百分比的燕麥糠。然而，在德州休 士頓某研究單位的醫學研究員懷疑燕麥糠的效果，並進行一項實驗。在 那項實驗中，120 位自願者食用燕麥糠為早餐（稱為實驗組），而其他120 位自願者食用另一種穀類食品為早餐（稱為對照組）。在6 週之後，計算 並蒐集兩個群組自願者膽固醇降低的百分比。 實驗組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（10.01, 4.43, 120）。 對照組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（9.12, 4.45, 120）。 平均數與標準差的單位皆是百分比。 對降低膽固醇而言，在5% 的顯著水準下，我們是否能夠藉由假設檢定 推論燕麥糠不同於其他早餐穀類食品？寫下假設檢定的過程，包括虛無 與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。採用相同變異數的檢定 統計量。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、建立假設。令 μ1 為燕麥糠組膽固醇降低百分比的平均數，μ2 為對照組平均數。虛無假設 H0：μ1－μ2＝0（燕麥糠與其他穀類無差異）；對立假設 H1：μ1－μ2≠0（雙尾檢定）；顯著水準 α＝0.05。兩組樣本數均為 120，屬大樣本，惟題目指定採用相同變異數的檢定統計量。
- 二、合併變異數與檢定統計量。sp²＝[(n1－1)s1²＋(n2－1)s2²]／(n1＋n2－2)＝(119×4.43²＋119×4.45²)／238＝(19.6249＋19.8025)／2＝19.7137，sp＝4.4401。檢定統計量 t＝(x̄1－x̄2)／[sp√(1/n1＋1/n2)]＝0.89／(4.4401×0.12910)＝0.89／0.5732＝1.5527，自由度為 238。
- 三、拒絕域。雙尾檢定之拒絕域為 |t|＞t(0.025, 238)。查表 t(0.025, 238)≈1.970，故當 |t|＞1.970 時拒絕 H0。本例 |t|＝1.5527＜1.970，檢定統計量未落入拒絕域，故不拒絕虛無假設；亦可由 p 值約 0.122＞0.05 得到相同結論。
- 四、結論與討論。在 5% 顯著水準下，無足夠證據推論燕麥糠降低膽固醇的效果不同於其他早餐穀類食品。惟兩組平均數差 0.89 個百分點，方向與早期研究一致，僅未達統計顯著；宜提醒「不拒絕 H0」不等於證明兩者相同，亦應注意自願者樣本的自選擇偏誤與實驗期間僅六週的限制。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。