民國110年 高考三級 交通技術 統計學
第4題
學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊…
題目
學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊設計（complete randomized block design），進行 學生在SAT 的三個領域之資料蒐集。以下是六名學生的SAT 分數樣本： 學生 關鍵性閱讀 數學 寫作 請說明為何考慮隨機區塊設計？何者為區塊以及何者為感興趣的因 子。（5 分） 給定SSTR=1348, SSBL=63250 and SST=65798，建構對應的ANOVA 表 （SSTR：Sum of squares for Treatment；SSBL：Sum of squares for Block； SST：Total sumof squares）。在5%的顯著水準下，是否有足夠證據說明 學生在SAT 的三個領域表現不同？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、為何採用隨機區塊設計。學生的整體學術能力（語文與數理稟賦）差異極大，若採完全隨機設計，這部分變異會落入誤差項，使檢定力下降。將每位學生視為一個區塊，讓同一學生接受三個領域的處理，可移除學生間變異，使誤差均方縮小，提高檢定三個領域平均分數是否不同的敏感度。
- 二、區塊與感興趣因子。區塊（block）為「學生」，共 6 位；感興趣的因子（factor）為「SAT 領域」，有三個水準：關鍵性閱讀、數學、寫作。每位學生在三個水準下皆有觀測值，故屬完整隨機區塊設計（complete randomized block design），總觀測數 18，總自由度 17。
- 三、建構 ANOVA 表。誤差平方和 SSE＝SST－SSTR－SSBL＝65798－1348－63250＝1200。自由度：處理 3－1＝2、區塊 6－1＝5、誤差 (3－1)(6－1)＝10、總 17。均方：MSTR＝674、MSBL＝12650、MSE＝120。F(處理)＝674／120＝5.617；F(區塊)＝12650／120＝105.42。
- 四、假設檢定過程。H0：三個領域的平均分數相等（τ1＝τ2＝τ3＝0）；H1：至少有一領域平均分數與其他領域不同。α＝0.05，拒絕域為 F＞F(0.05; 2, 10)＝4.10。因 5.617＞4.10，拒絕 H0，有足夠證據說明學生在三個領域的表現不同。
- 五、區塊效果與後續。區塊檢定 F＝105.42＞F(0.05; 5, 10)＝3.33，顯示學生間差異高度顯著，證實區塊化有效降低誤差。惟 ANOVA 僅指出「至少有一領域不同」，若要了解哪兩領域有差異，需進一步以 LSD 或 Tukey 法進行多重比較，並注意各領域分數尺度相同方可直接比較。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。