民國115年 高考三級 土木工程 材料力學與結構學
第2題
如圖二所示之簡支梁，梁長為5 m，A 為鉸支承，而B 點下方為一根二 力桿件BC，且其軸向勁度k 為2000 kN/m，梁斷面為口字型（如圖二所 示之斷面尺寸，…
題目
如圖二所示之簡支梁，梁長為5 m，A 為鉸支承，而B 點下方為一根二 力桿件BC，且其軸向勁度k 為2000 kN/m，梁斷面為口字型（如圖二所 示之斷面尺寸，各邊厚度均為5 cm），梁上承受一均布載重10 kN/m。試 回答下列問題： 梁中之斷面最大彎矩為何？（請標示彎矩之方向）（10 分） 梁中之斷面最大正應力為何？（15 分） A B 5 m 10 kN/m k C 50 cm 50 cm 5 cm 5 cm 圖二
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、結構模型與靜不定度：A 為鉸支承，B 端下方二力桿 BC 相當於一彈性支承（軸向彈簧，k = 2000 kN/m），結構為一度靜不定。取 B 點反力 R_B 為多餘力，其餘反力可由靜力平衡直接求得。
- 二、最大彎矩：對 B 點取力矩，R_A×5 = (10×5)×2.5，得 R_A = 25 kN；此值與 R_B 無關，因 R_B 之作用線通過 B 點。彎矩函數 M(x) = 25x − 5x²，於 x = 2.5 m 處最大值 M_max = 62.5 − 31.25 = 31.25 kN·m，為正彎矩（底部受拉、頂部受壓），B 端彎矩恆為零。
- 三、斷面幾何性質：口字型斷面外緣 500 mm×500 mm、內緣 400 mm×400 mm（各邊厚 50 mm）。慣性矩 I = (500⁴ − 400⁴)/12 = (6.25×10¹⁰ − 2.56×10¹⁰)/12 = 3.075×10⁹ mm⁴；中立軸距離 c = 250 mm，斷面模數 S = I/c = 1.23×10⁷ mm³。
- 四、最大正應力：σ_max = M_max/S = (31.25×10⁶ N·mm)/(1.23×10⁷ mm³) = 2.54 N/mm²（MPa），發生於跨中央斷面，頂部纖維受壓、底部纖維受拉。計算時須注意單位統一（kN·m 換為 N·mm）。
- 五、討論與延伸：彈性支承位於彎矩恆為零之梁端，故 k 值只影響 B 點沉陷量與 R_B 大小，並不改變彎矩圖與最大彎矩，此為本題關鍵。若題目另問 B 點位移，則需以 δ_B = R_B/k 與梁撓度式 5wL⁴/384EI − R_B L³/48EI 相容求解，並須另給梁之彈性模數 E。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。