民國115年 高考三級 測量製圖 誤差理論及實務
第3題
請說明點位誤差橢圓和點位間相對誤差橢圓的意義，以及如何由點位誤 差橢圓求得點位間相對誤差橢圓。又點位誤差橢圓為圓時，表示何種意 義？此時點位在x-方向和y-方向…
題目
請說明點位誤差橢圓和點位間相對誤差橢圓的意義，以及如何由點位誤 差橢圓求得點位間相對誤差橢圓。又點位誤差橢圓為圓時，表示何種意 義？此時點位在x-方向和y-方向誤差的相關性為何？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、點位誤差橢圓的意義：點位誤差橢圓（point error ellipse）是點位坐標誤差之聯合機率等值線，由坐標協方差矩陣 Σ＝[[σ_x², σ_xy], [σ_xy, σ_y²]] 決定。橢圓中心為平差後點位，主軸方向為誤差最大與最小方向，半軸長為特徵值平方根 √λ₁、√λ₂（標準橢圓取 1σ；95% 橢圓約乘 2.447）。它描述該點相對於基準的絕對精度與方向性。
- 二、相對誤差橢圓的意義：點位間相對誤差橢圓（relative error ellipse）描述兩點相對位置向量 ΔX＝X_j－X_i 的不確定性，其協方差為 Σ_Δ＝Σ_j＋Σ_i－Σ_ij－Σ_ji；若兩點獨立或忽略相關，則 Σ_Δ＝Σ_i＋Σ_j。橢圓中心可置於 j 點（或基線中點），半軸表示基線長度與方向之相對精度，與基準選擇無關，常用於網形相對精度、變形與施工放樣檢核。
- 三、由點位橢圓求相對橢圓：先由各點橢圓之半軸 σ₁、σ₂ 與方位角 θ，重組 Σ＝R diag(σ₁², σ₂²) Rᵀ，R 為旋轉矩陣；再依 Σ_Δ＝Σ_i＋Σ_j（必要時加交互協方差）合成。對 Σ_Δ 作特徵分解，特徵值 λ₁、λ₂ 之平方根即相對橢圓半軸，方位角 θ_Δ＝½ atan2(2Σ_xy, Σ_xx－Σ_yy)。最後將橢圓繪於基線端點並標註半軸與方位。
- 四、橢圓為圓的意義：當 σ_x＝σ_y 且 σ_xy＝0 時，Σ 為純量矩陣，λ₁＝λ₂，誤差橢圓退化為圓；表示點位誤差在各方向相同（等向性），沒有明顯的優勢方向。此時 x 方向與 y 方向誤差之相關係數 ρ＝σ_xy／(σ_xσ_y)＝0，若誤差服從常態分布，兩者互相獨立。圓半徑為各方向之標準差 σ；若以點位中誤差表示，則為 √2σ。圓形不代表沒有誤差，只代表誤差大小不隨方向改變。
- 五、判讀提醒：圓形橢圓只表示等向精度，並不表示精度高或無系統誤差；仍須以半徑大小判定精度。又若 σ_x＝σ_y 但 σ_xy≠0，協方差矩陣非純量，橢圓仍為傾斜之橢圓而非圓，相關係數亦不為零。考生繪圖時應標出中心、長短軸、方位角及置信水準，並註明點位橢圓與相對橢圓之基準差異。
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