民國115年 高考三級 機械工程 熱力學
第3題
考慮氦氣通過一個渦輪機進行等熵膨脹過程。氦氣在渦輪機的入口壓力 為350 kPa，而其溫度為240 ℃。在出口處其壓力下降為100 kPa。假設 這個渦輪機本身…
題目
考慮氦氣通過一個渦輪機進行等熵膨脹過程。氦氣在渦輪機的入口壓力 為350 kPa，而其溫度為240 ℃。在出口處其壓力下降為100 kPa。假設 這個渦輪機本身是絕熱的，而且入口的面積很小，入口速度幾乎是零， 而出口的速度為210 m/s。氦氣通過渦輪機的膨脹過程方程式為pv1.6 = C。 請問： 出口的溫度是多少？（10 分） 焓的變化是多少？（8 分） 每一公斤氦氣總共做了多少功？（7 分） （氦氣的氣體常數為2.0769 kJ/kgK，Cp 為5.234 kJ/kgK，假設為理想氣體）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、過程判別與公式建立：題目敘述為「等熵膨脹」，但同時給定膨脹過程式 pv^1.6 = C，即多變過程（polytropic process）指數 n = 1.6。氦氣的 k = C_p/C_v = 5.234/（5.234 − 2.0769）= 5.234/3.1571 ≈ 1.66～1.68；因 n < k，過程實際上並非真正等熵，熵會增加。解題應以題給的 pv^1.6 = C 為主，並使用 T₂/T₁ =（P₂/P₁）^((n−1)/n) 求解。
- 二、出口溫度的計算（10 分）：n = 1.6，(n−1)/n = 0.6/1.6 = 0.375。T₂ = T₁（P₂/P₁）^0.375 = 513.15 ×（100/350）^0.375。先取對數：ln（0.28571）= −1.2528，乘 0.375 得 −0.4698，取指數得 0.6251。故 T₂ = 513.15 × 0.6251 = 320.8 K，換算為 320.8 − 273.15 = 47.6 ℃。
- 三、焓的變化（8 分）：理想氣體的焓僅為溫度的函數，Δh = C_p（T₂ − T₁）= 5.234 ×（320.8 − 513.15）= 5.234 ×（−192.35）= −1007 kJ/kg。負號表示每公斤氦氣流經渦輪機後焓下降約 1007 kJ，此焓降正是推動渦輪機作功的能量來源，作答時應明確標示方向與單位。
- 四、每公斤作功量（7 分）：取穩流絕熱渦輪機為控制容積，能量方程式 q − w = Δh + Δke + Δpe。q = 0、入口速度幾近於零（V₁ ≈ 0）、位能變化可忽略，動能變化 Δke = V₂²/2 = 210²/2 = 22,050 J/kg = 22.05 kJ/kg。故 w = −Δh − Δke = 1007.0 − 22.05 = 985 kJ/kg（約 984.9 kJ/kg）。
- 五、驗算與常見錯誤提醒：若忽略出口動能，則 w ≈ 1007 kJ/kg，可見高速出口使可用功減少約 22 kJ/kg。另需注意多變容積功 ∫p dv = R（T₁ − T₂）/（n − 1）= 2.0769 × 192.35/0.6 ≈ 666 kJ/kg，此為容積功而非軸功，兩者因流功（flow work）不同而不可混用；以 w = −∫v dp − Δke 計算時尚須扣除摩擦再熱損失，才與能量方程式結果一致。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。