民國115年 高考三級 機械工程 熱力學考古題
民國115年 高考三級 機械工程 熱力學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
總質量為10 kg 的空氣放置於汽缸中，其中一端連接一活塞。剛開始汽
缸內溫度為20 ℃，汽缸的體積為0.5 m3。當汽缸壁被均勻加熱，內部壓
力保持不變，但汽缸內的體積變為1 m3。請問：
汽缸內的壓力是多少？（7 分）
這個加熱過程，空氣做了多少功？（10 分）
最後空氣的溫度變成幾度？（8 分）
（空氣的氣體常數為0.287 kJ/kgK，假設為理想氣體）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、題意與設定：本題為密閉系統的等壓加熱過程，工作流體為空氣，可視為理想氣體。已知質量 m = 10 kg、初溫 T₁ = 20 ℃ = 293.15 K、初容積 V₁ = 0.5 m³、末容積 V₂ = 1.0 m³、氣體常數 R = 0.287 kJ/kg·K；因活塞可自由移動且壓力保持不變，故 P₁ = P₂ = P。解題主軸為理想氣體狀態方程式 PV = mRT，並提醒溫度必須換算為絕對溫度 K，且 kJ = kPa·m³，單位才能一致。
- 二、汽缸壓力的計算（7 分）：由 PV = mRT 可得 P = mRT₁ / V₁ =（10 × 0.287 × 293.15）/ 0.5 = 841.34 / 0.5 = 1682.7 kPa。亦即約 1.68 MPa（約 16.6 atm）。由於過程為等壓，此值同時為狀態 1 與狀態 2 的壓力；作答時宜寫出中間乘積 841.34 kPa·m³，以顯示計算步驟並利於閱卷者核對。
- 三、容積功的計算（10 分）：等壓過程的邊界功（boundary work）為 W_b = ∫P dV = P（V₂ − V₁）= 1682.7 ×（1.0 − 0.5）= 841.3 kJ。結果為正值，表示系統膨脹、對外（活塞）作功 841.3 kJ。另可用等壓關係 W = mR（T₂ − T₁）驗算，因 T₂ − T₁ = 293.15 K，得 10 × 0.287 × 293.15 = 841.3 kJ，兩式一致，可作為交叉檢核。
- 四、最終溫度的計算（8 分）：等壓下理想氣體滿足 V/T = 定值（查理定律），故 T₂ = T₁ ×（V₂/V₁）= 293.15 ×（1.0/0.5）= 586.3 K，換算為 586.3 − 273.15 = 313.2 ℃。亦可以 T₂ = P V₂ /（mR）= 1682.7 × 1.0 / 2.87 = 586.3 K 驗證，兩種途徑結果相同，顯示容積加倍時絕對溫度亦加倍。
- 五、延伸討論：若題目另問加熱量，可用 Q = mC_p（T₂ − T₁）= 10 × 1.005 × 293.15 ≈ 2946 kJ；其中 841 kJ 轉為對外作功、約 2105 kJ 儲存為內能增加（ΔU = mC_vΔT，C_v = 0.718 kJ/kg·K），符合熱力學第一定律 Q − W = ΔU。此一能量分配可作為答案完整性的補強說明。
如果有一個絕熱的容器，內裝有氦氣0.8 kg。其起始溫度為20 ℃且壓力
為220 kPa。如果使用一螺槳在容器內旋轉對氦氣做功。其輸入功率為
0.02 kW，進行1 小時。請問：
最後容器內的溫度是多少？（13 分）
壓力有多大？（12 分）
（氦氣的氣體常數為2.0769 kJ/kgK，CV 為3.1156 kJ/kgK，假設為理想
氣體）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、系統設定與能量方程式：容器絕熱且剛性，故熱傳 Q = 0、容積固定（V = 定值），邊界功為零；唯一的能量交換為螺槳旋轉輸入的攪拌功（paddle-wheel work，屬耗散功 dissipative work）。取系統對外作功為正，則 W = −72 kJ（外界對系統作功）。密閉系統第一定律寫為 ΔU = Q − W，即 mC_v（T₂ − T₁）= 0 −（−72）= 72 kJ。
- 二、容器容積的計算：由理想氣體方程式 V = mRT₁/P₁ =（0.8 × 2.0769 × 293.15）/ 220 = 487.1 / 220 = 2.214 m³。因容器剛性，此容積在整個過程中維持不變，是稍後求末壓的關鍵已知量；建議作答時先求出容積，可使後續計算層次分明。
- 三、最終溫度的計算（13 分）：輸入功 W_in = 功率 × 時間 = 0.02 kW × 3600 s = 72 kJ。由 mC_vΔT = 72 得 ΔT = 72 /（0.8 × 3.1156）= 72 / 2.4925 = 28.89 K。故 T₂ = 293.15 + 28.89 = 322.04 K，換算為 322.04 − 273.15 = 48.9 ℃（約 49 ℃）。
- 四、最終壓力的計算（12 分）：定容過程中理想氣體的壓力與絕對溫度成正比，即 P₂/P₁ = T₂/T₁，故 P₂ = 220 ×（322.04/293.15）= 220 × 1.0986 = 241.7 kPa。亦可用 P₂ = mRT₂/V =（0.8 × 2.0769 × 322.04）/ 2.214 = 535.1 / 2.214 = 241.7 kPa 驗算，兩法結果一致。
- 五、討論與驗證：此過程雖為絕熱（Q = 0），卻因攪拌功的耗散而使溫度、壓力上升，屬典型的不可逆過程。熵變 ΔS = m[C_v ln（T₂/T₁）+ R ln（V₂/V₁）] = 0.8 × 3.1156 × ln（1.0986）= 0.234 kJ/K > 0，符合熱力學第二定律；若誤將絕熱過程視為等熵（ΔS = 0），將得到錯誤結論，這是考生常見的迷思。
考慮氦氣通過一個渦輪機進行等熵膨脹過程。氦氣在渦輪機的入口壓力
為350 kPa，而其溫度為240 ℃。在出口處其壓力下降為100 kPa。假設
這個渦輪機本身是絕熱的，而且入口的面積很小，入口速度幾乎是零，
而出口的速度為210 m/s。氦氣通過渦輪機的膨脹過程方程式為pv1.6 = C。
請問：
出口的溫度是多少？（10 分）
焓的變化是多少？（8 分）
每一公斤氦氣總共做了多少功？（7 分）
（氦氣的氣體常數為2.0769 kJ/kgK，Cp 為5.234 kJ/kgK，假設為理想氣體）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、過程判別與公式建立：題目敘述為「等熵膨脹」，但同時給定膨脹過程式 pv^1.6 = C，即多變過程（polytropic process）指數 n = 1.6。氦氣的 k = C_p/C_v = 5.234/（5.234 − 2.0769）= 5.234/3.1571 ≈ 1.66～1.68；因 n < k，過程實際上並非真正等熵，熵會增加。解題應以題給的 pv^1.6 = C 為主，並使用 T₂/T₁ =（P₂/P₁）^((n−1)/n) 求解。
- 二、出口溫度的計算（10 分）：n = 1.6，(n−1)/n = 0.6/1.6 = 0.375。T₂ = T₁（P₂/P₁）^0.375 = 513.15 ×（100/350）^0.375。先取對數：ln（0.28571）= −1.2528，乘 0.375 得 −0.4698，取指數得 0.6251。故 T₂ = 513.15 × 0.6251 = 320.8 K，換算為 320.8 − 273.15 = 47.6 ℃。
- 三、焓的變化（8 分）：理想氣體的焓僅為溫度的函數，Δh = C_p（T₂ − T₁）= 5.234 ×（320.8 − 513.15）= 5.234 ×（−192.35）= −1007 kJ/kg。負號表示每公斤氦氣流經渦輪機後焓下降約 1007 kJ，此焓降正是推動渦輪機作功的能量來源，作答時應明確標示方向與單位。
- 四、每公斤作功量（7 分）：取穩流絕熱渦輪機為控制容積，能量方程式 q − w = Δh + Δke + Δpe。q = 0、入口速度幾近於零（V₁ ≈ 0）、位能變化可忽略，動能變化 Δke = V₂²/2 = 210²/2 = 22,050 J/kg = 22.05 kJ/kg。故 w = −Δh − Δke = 1007.0 − 22.05 = 985 kJ/kg（約 984.9 kJ/kg）。
- 五、驗算與常見錯誤提醒：若忽略出口動能，則 w ≈ 1007 kJ/kg，可見高速出口使可用功減少約 22 kJ/kg。另需注意多變容積功 ∫p dv = R（T₁ − T₂）/（n − 1）= 2.0769 × 192.35/0.6 ≈ 666 kJ/kg，此為容積功而非軸功，兩者因流功（flow work）不同而不可混用；以 w = −∫v dp − Δke 計算時尚須扣除摩擦再熱損失，才與能量方程式結果一致。
卡諾熱引擎（Carnot heat engine）是由定溫吸熱過程、絕熱膨脹過程、定
溫排熱過程、絕熱壓縮過程四個熱力學過程所組成，並且在兩個不同溫
度的熱源間操作才能輸出功。如果使用1 kg 空氣作為引擎內的工作流體，
假設一開始引擎內的狀態一，溫度是100 ℃，壓力為200 kPa。首先定溫
吸熱至狀態二，溫度是100 ℃，壓力為175 kPa。接著絕熱膨脹至狀態三，
溫度為50 ℃，壓力為100 kPa。然後定溫排熱至狀態四，溫度為50 ℃，
壓力為114.29 kPa。最後絕熱壓縮回到狀態一。請問：
由狀態一到二的熵變化是多少？（5 分）
狀態三到四的熵變化是多少？（5 分）
這個卡諾循環產生的功是多少？（10 分）
其熱循環效率是多少？（5 分）
（空氣的氣體常數為0.287 kJ/kgK，Cp為1.005 kJ/kgK，假設為理想氣體）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、循環結構與狀態點：卡諾熱引擎由四個可逆過程組成：1→2 定溫吸熱（T_H = 100 ℃ = 373.15 K，壓力由 200 kPa 降至 175 kPa）、2→3 絕熱膨脹（降溫至 50 ℃、100 kPa）、3→4 定溫排熱（T_L = 50 ℃ = 323.15 K，壓力由 100 kPa 升至 114.29 kPa）、4→1 絕熱壓縮回到狀態一。空氣視為理想氣體，R = 0.287 kJ/kg·K、C_p = 1.005 kJ/kg·K、m = 1 kg。
- 二、狀態一到二的熵變化（5 分）：定溫過程中理想氣體的熵變僅來自壓力變化，ΔS₁₂ = mR ln（P₁/P₂）= 1 × 0.287 × ln（200/175）= 0.287 × ln（1.14286）= 0.287 × 0.13353 = +0.0383 kJ/K。正值表示系統自高溫熱源吸熱、熵增加，其數值亦等於 Q_H/T_H。
- 三、狀態三到四的熵變化（5 分）：同法，ΔS₃₄ = mR ln（P₃/P₄）= 0.287 × ln（100/114.29）= 0.287 × ln（0.875）= 0.287 ×（−0.13353）= −0.0383 kJ/K。負值表示系統向低溫熱源排熱、熵減少；其大小與 ΔS₁₂ 相等，故整個循環的淨熵變化為零，符合可逆循環的特性，可作為驗算。
- 四、循環淨功（10 分）：定溫吸熱量 Q_H = T_H × ΔS₁₂ = 373.15 × 0.03832 = 14.30 kJ；定溫排熱量 Q_L = T_L × |ΔS₃₄| = 323.15 × 0.03832 = 12.38 kJ。淨功 W_net = Q_H − Q_L = 14.30 − 12.38 = 1.92 kJ；亦可用 W_net =（T_H − T_L）ΔS = 50 × 0.03832 = 1.92 kJ，兩式一致。
- 五、熱效率（5 分）：η_th = W_net/Q_H = 1.92/14.30 = 0.134，即 13.4%；以卡諾效率公式核對 η = 1 − T_L/T_H = 1 − 323.15/373.15 = 1 − 0.8660 = 0.1340，結果相同。另需說明：題給各狀態壓力經圓整，2→3 與 4→1 的絕熱關係（P₂/P₃ 與 T₂/T₃）略有微小不一致，惟不影響以題給狀態點計算熵變、功與效率的方法與結論。