民國114年 離島三等 經建行政 統計學
第2題
依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲 以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： 隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數…
題目
依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲 以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： 隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數，寫出X 的機率分配 函數。（6 分） 承 ，計算會抽到超過2 人為近視的機率（亦即P(X > 2)）。（6 分） 隨機抽取1000 人，剛好880 人為近視的機率（請以常態分配機率 近似）。（12 分） 若隨機變數Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出Y 的機率分配 函數。（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令近視為成功，p=0.872，q=0.128。隨機抽取8人，X為近視人數，則X服從二項分配（binomial distribution），X~Bin(8,0.872)，其機率函數為 P(X=x)=C(8,x)(0.872)^x(0.128)^(8-x)，x=0,1,…,8；期望值 np=6.976，變異數 npq=0.893。
- 二、P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)。其中 P(X=0)=0.128^8≈7.21×10^(-8)，P(X=1)=8(0.872)(0.128)^7≈3.93×10^(-6)，P(X=2)=28(0.872)^2(0.128)^6≈9.36×10^(-5)，故 P(X>2)≈0.9999024，約為0.9999。
- 三、抽1000人時，X近似N(872,111.616)，標準差10.5648。求剛好880人須作連續性校正，計算P(879.5<X<880.5)，z為0.7099與0.8046；機率約Φ(0.8046)-Φ(0.7099)=0.0284。
- 四、令Y為抽到第10位近視者時總共抽取的人數，則Y服從負二項分配（negative binomial distribution），P(Y=y)=C(y-1,9)(0.872)^10(0.128)^(y-10)，y=10,11,12,…；其期望值為10/p=11.4679人。若Y定義為第10位成功前的失敗人數，則機率函數改為C(y+9,9)(0.872)^10(0.128)^y。
- 五、常態近似須滿足np=872、nq=128均大於5，且抽樣為簡單隨機抽樣、各人近視事件相互獨立；若抽樣不獨立（如班級叢集）或p變動，二項模式即不適用。上述機率均為近似值，必要時應以精確二項分配核對。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。