民國114年 離島三等 經建行政 統計學
第3題
下表是全國姓名統計前五大姓氏（及其他）的全國占比，及從臺北市 隨機抽取2694 人，其姓氏之分布情形。 姓氏 全國比例（%） 臺北市（人） 陳 11.21 林…
題目
下表是全國姓名統計前五大姓氏（及其他）的全國占比，及從臺北市 隨機抽取2694 人，其姓氏之分布情形。 姓氏 全國比例（%） 臺北市（人） 陳 11.21 林 8.33 黃 6.00 張 5.30 李 5.13 其他 64.03 總計 100.00 試問： 建構臺北市姓氏為陳者的母體比例之99%區間估計。（8 分） 在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市姓氏為黃者的母體比例是否小於 全國姓氏為黃者的比例。（10 分） 在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市各姓氏的比例是否與全國各姓氏 的比例一致。（12 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設全國第i類姓氏比例為p_i0，臺北市抽樣人數n=2694，臺北市第i類人數為x_i，樣本比例p̂_i=x_i/2694。題目僅給全國比例與總樣本數，臺北市各姓氏人數未列，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值；以下列出公式、步驟與判定規則，且不得以全國比例代替臺北市樣本比例。
- 二、陳姓母體比例p的99%區間估計為 p̂±z_0.995√[p̂(1-p̂)/2694]，其中z_0.995=2.5758。若x_陳已知，先算p̂=x_陳/2694，再代入；區間上下限分別為p̂-2.5758×標準誤與p̂+2.5758×標準誤。因p̂未知，不能算出唯一上下限。
- 三、黃姓檢定採單尾：H0:p_黃≥0.0600（以等號邊界計算），H1:p_黃<0.0600。檢定統計量 z=(p̂_黃-0.0600)/√[0.0600×0.9400/2694]，標準誤約0.004575。α=0.05時左尾臨界值為-1.6449，若z<-1.6449則拒絕H0，否則不拒絕；p值為Φ(z)。
- 四、全姓氏適合度檢定：H0為臺北市各姓氏比例與全國一致，H1為至少一類不一致。期望次數e_i=2694p_i0，依序為陳302.00、林224.41、黃161.64、張142.78、李138.20、其他1724.97。統計量χ²=Σ(x_i-e_i)^2/e_i，df=5，α=0.05臨界值11.0705，χ²>11.0705即拒絕H0。
- 五、因x_i缺漏，無法計算χ²值與作成結論。另須注意各類期望次數均應≥5（本題符合）、樣本為簡單隨機抽樣且類別互斥完整；若要做多個單獨比例檢定，應控制多重比較的整體錯誤率。補齊臺北市各姓氏人數後，即可依上述公式完成。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。