首頁 / 離島三等 經建行政考古題 / 民國114年 離島三等 經建行政 統計學 民國114年 離島三等 經建行政 統計學考古題
民國114年 離島三等 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
藉由過去數年的資料蒐集與分析，某段道路發生交通事故的次數，為
每星期平均2 次的卜瓦松分配（Poisson distribution）。試問：（計算
至小數點後4 位）（每小題10 分，共20 分）
在12 月第一個星期的時間內，此段道路上發生2 次及2 次以上交
通事故之機率。
在12 月最後二個星期的時間內，此段道路上發生1 次及1 次以下
交通事故之機率。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設每週事故數 X 服從卜瓦松分配（Poisson distribution），X~Poisson(λ=2)，機率函數為 P(X=x)=e^(-2)2^x/x!，x=0,1,2,…。卜瓦松分配要求事件發生率固定、各週相互獨立，且同一瞬間不能有兩起事故；其期望值與變異數均為2。 二、12月第一週發生2次及以上事故的機率為 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^(-2)(1+2)=1-3×0.1353352832=0.5939941504，計算至小數點後4位為0.5940。此題用「1減去0次與1次的機率」較不易漏算。 三、12月最後兩週合計事故數 Y 服從Poisson(λ=4)，因期望值與變異數可加且增量獨立。所求為 P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=e^(-4)(1+4)=5×0.0183156389=0.0915781944，四捨五入為0.0916。 四、上述結果建立在每週平均2次、發生率不隨時間變動的假設上；若12月因假期、天候或交通管制使事故率改變，即產生過度離散（overdispersion），可考慮負二項分配（negative binomial distribution）。另須注意題目指定四捨五入至小數點後4位。 五、檢核：Poisson機率總和為1，P(X≥2)約0.5940，表示每週至少2起事故的機率接近六成；此數值可作為道路安全改善措施的風險基準，但仍須注意模式配適與資料期間異質性。
依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲
以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題：
隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數，寫出X 的機率分配
函數。（6 分）
承 ，計算會抽到超過2 人為近視的機率（亦即P(X > 2)）。（6 分）
隨機抽取1000 人，剛好880 人為近視的機率（請以常態分配機率
近似）。（12 分）
若隨機變數Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出Y 的機率分配
函數。（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、令近視為成功，p=0.872，q=0.128。隨機抽取8人，X為近視人數，則X服從二項分配（binomial distribution），X~Bin(8,0.872)，其機率函數為 P(X=x)=C(8,x)(0.872)^x(0.128)^(8-x)，x=0,1,…,8；期望值 np=6.976，變異數 npq=0.893。 二、P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)。其中 P(X=0)=0.128^8≈7.21×10^(-8)，P(X=1)=8(0.872)(0.128)^7≈3.93×10^(-6)，P(X=2)=28(0.872)^2(0.128)^6≈9.36×10^(-5)，故 P(X>2)≈0.9999024，約為0.9999。 三、抽1000人時，X近似N(872,111.616)，標準差10.5648。求剛好880人須作連續性校正，計算P(879.5<X<880.5)，z為0.7099與0.8046；機率約Φ(0.8046)-Φ(0.7099)=0.0284。 四、令Y為抽到第10位近視者時總共抽取的人數，則Y服從負二項分配（negative binomial distribution），P(Y=y)=C(y-1,9)(0.872)^10(0.128)^(y-10)，y=10,11,12,…；其期望值為10/p=11.4679人。若Y定義為第10位成功前的失敗人數，則機率函數改為C(y+9,9)(0.872)^10(0.128)^y。 五、常態近似須滿足np=872、nq=128均大於5，且抽樣為簡單隨機抽樣、各人近視事件相互獨立；若抽樣不獨立（如班級叢集）或p變動，二項模式即不適用。上述機率均為近似值，必要時應以精確二項分配核對。
下表是全國姓名統計前五大姓氏（及其他）的全國占比，及從臺北市
隨機抽取2694 人，其姓氏之分布情形。
姓氏
全國比例（%）
臺北市（人）
陳
11.21
林
8.33
黃
6.00
張
5.30
李
5.13
其他
64.03
總計
100.00
試問：
建構臺北市姓氏為陳者的母體比例之99%區間估計。（8 分）
在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市姓氏為黃者的母體比例是否小於
全國姓氏為黃者的比例。（10 分）
在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市各姓氏的比例是否與全國各姓氏
的比例一致。（12 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設全國第i類姓氏比例為p_i0，臺北市抽樣人數n=2694，臺北市第i類人數為x_i，樣本比例p̂_i=x_i/2694。題目僅給全國比例與總樣本數，臺北市各姓氏人數未列，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值；以下列出公式、步驟與判定規則，且不得以全國比例代替臺北市樣本比例。 二、陳姓母體比例p的99%區間估計為 p̂±z_0.995√[p̂(1-p̂)/2694]，其中z_0.995=2.5758。若x_陳已知，先算p̂=x_陳/2694，再代入；區間上下限分別為p̂-2.5758×標準誤與p̂+2.5758×標準誤。因p̂未知，不能算出唯一上下限。 三、黃姓檢定採單尾：H0:p_黃≥0.0600（以等號邊界計算），H1:p_黃<0.0600。檢定統計量 z=(p̂_黃-0.0600)/√[0.0600×0.9400/2694]，標準誤約0.004575。α=0.05時左尾臨界值為-1.6449，若z<-1.6449則拒絕H0，否則不拒絕；p值為Φ(z)。 四、全姓氏適合度檢定：H0為臺北市各姓氏比例與全國一致，H1為至少一類不一致。期望次數e_i=2694p_i0，依序為陳302.00、林224.41、黃161.64、張142.78、李138.20、其他1724.97。統計量χ²=Σ(x_i-e_i)^2/e_i，df=5，α=0.05臨界值11.0705，χ²>11.0705即拒絕H0。 五、因x_i缺漏，無法計算χ²值與作成結論。另須注意各類期望次數均應≥5（本題符合）、樣本為簡單隨機抽樣且類別互斥完整；若要做多個單獨比例檢定，應控制多重比較的整體錯誤率。補齊臺北市各姓氏人數後，即可依上述公式完成。
某縣政府想評估四種流程（A、B、C、D 表示之）辦理某一業務的效
率，在申請該項業務的民眾中，各隨機抽取6 位民眾至每一種流程，
觀測其完成程序所需的時間，彙整於下表：
辦理流程
程序完成所需時間（分）
平均
標準差
A
132.0
21.10
B
141.5
19.89
C
149.0
6.22
D
151.5
7.14
在顯著水準為0.05 下，檢定各辦理流程完成程序的平均所需時間是
否相等。（15 分）
詳細說明進行 之分析所需的假設。（5 分）
卡方分配表
Table of the Chi-square Distribution
標準常態分配表
F 分配機率表
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設第i種流程的第j位民眾完成時間為Y_ij，採單因子固定效果模式 Y_ij=μ+τ_i+ε_ij，i=A,B,C,D，j=1,…,6；ε_ij~N(0,σ²)且相互獨立。檢定 H0:τ_A=τ_B=τ_C=τ_D（四種流程平均時間相等），H1:至少有一組不同。 二、總平均=(132.0+141.5+149.0+151.5)/4=143.5。組間平方和 SSTR=6[(132-143.5)^2+(141.5-143.5)^2+(149-143.5)^2+(151.5-143.5)^2]=6×230.5=1383.0，df=3，MSTR=461.0。 三、以樣本標準差計算，組內平方和 SSE=Σ(n_i-1)s_i^2=5(21.10^2+19.89^2+6.22^2+7.14^2)=5×930.4901=4652.4505，df=24-4=20，MSE=232.6225。F=MSTR/MSE=461.0/232.6225=1.9818；F(3,20,0.05)臨界值約3.0984，p值約0.15。 四、因F=1.9818<3.0984（p>0.05），不拒絕H0，尚無足夠證據顯示四種流程的平均完成時間有顯著差異。此結論僅表示資料不足以證明差異，不等於四者完全相同；若要找出哪兩組不同，應在整體檢定顯著後再做事後比較。 五、變異數分析假設：各組獨立隨機樣本、殘差常態、各組變異數同質，且模式具可加性。本題A、B標準差約20分，C、D僅6至7分，變異數同質性宜以Levene檢定確認；若違反，應改用Welch ANOVA，並以Games-Howell事後比較，或改採Kruskal-Wallis檢定。