民國114年 離島四等 土木工程 材料力學概要
第2題
如圖所示為某點平面應力狀態，求其最大正向應力 及最大同平面剪應 力 max 。（25 分）
題目
如圖所示為某點平面應力狀態，求其最大正向應力 及最大同平面剪應 力 max 。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、應力轉換基本式：平面應力狀態下，任意斜面之正向應力 σ_θ = (σx+σy)/2 + (σx−σy)/2·cos2θ + τxy·sin2θ；剪應力 τ_θ = −(σx−σy)/2·sin2θ + τxy·cos2θ。最大與最小主應力（principal stress）即莫耳圓（Mohr's circle）與 σ 軸之交點。
- 二、最大正向應力公式：σ_max,min = (σx+σy)/2 ± √[((σx−σy)/2)² + τxy²]。式中 (σx+σy)/2 為莫耳圓圓心，根號項為半徑 R；σ1 = 平均應力 + R、σ2 = 平均應力 − R，且 σ1 + σ2 = σx + σy，可作為驗算之不變量。
- 三、最大同平面剪應力：τ_max = R = √[((σx−σy)/2)² + τxy²]，其作用面與主平面成 45°，該面上之正向應力等於平均應力 (σx+σy)/2。主平面方位 θ_p = ½·tan⁻¹[2τxy/(σx−σy)]，最大剪應力面 θ_s = θ_p ± 45°。
- 四、數值代入（依題圖判讀）：若 σx = 50 MPa、σy = 10 MPa、τxy = 40 MPa，則平均應力 30 MPa、R = √(20² + 40²) = 44.7 MPa，得 σ_max = 74.7 MPa、σ_min = −14.7 MPa、τ_max = 44.7 MPa。
- 五、替代判讀與提醒：若圖示實為 σx = 50 MPa、σy = 40 MPa、τxy = 10 MPa，則平均 45 MPa、R = √(5² + 10²) = 11.2 MPa，得 σ_max = 56.2 MPa、τ_max = 11.2 MPa。題圖數值轉錄不清，應以原卷標註為準；若無法定出，則屬「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。