若隨機變數Y 為具有參數n 與p 的二項分配，定義 1ˆ / p Y n

題目

若隨機變數Y 為具有參數n 與p 的二項分配，定義 1ˆ / p Y n 及 2ˆ ( 1) / ( 2) p Y n 為p 的兩個估計量。 分別證明 1ˆp 與 2ˆp 是否為p 的不偏估計量。（10 分） 詳細推導 1ˆp 與 2ˆp 的均方誤差（mean squares error, MSE）。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、基本性質：設 Y~Bin(n,p)，則 E(Y)=np、Var(Y)=np(1−p)。p̂1=Y/n 為樣本比例，即成功次數除以試驗次數；p̂2=(Y+1)/(n+2) 為分子分母各加 1 與 2 之調整估計量（收縮估計，shrinkage estimator），其作用在避免估計值落在 0 或 1 之邊界。
• 二、不偏性之證明：E(p̂1)=E(Y)/n=np/n=p，故 p̂1 為 p 之不偏估計量（unbiased estimator）。E(p̂2)=(np+1)/(n+2)=p+(1−2p)/(n+2)，除 p=1/2 外不等於 p，故 p̂2 為有偏估計量，偏誤 Bias=(1−2p)/(n+2)；p<1/2 時高估，p>1/2 時低估，n 越大偏誤越小。
• 三、p̂1 之 MSE：MSE(p̂1)=Var(p̂1)+[Bias(p̂1)]²=np(1−p)/n²+0=p(1−p)/n。此即二項比例變異數除以 n，隨 n 增大而趨近 0；因不偏，其 MSE 等於變異數，可直接由 Var(Y/n)=Var(Y)/n² 求得。
• 四、p̂2 之 MSE：先以 Var(aY+b)=a²Var(Y) 得 Var(p̂2)=np(1−p)/(n+2)²，再與偏誤平方相加，得 MSE(p̂2)=[np(1−p)+(1−2p)²]/(n+2)²。推導時務必保留偏誤項，不可只寫變異數，否則即失去比較兩估計量之基礎。
• 五、比較與建議：MSE 為變異數與偏誤平方之和，p̂1 不偏但變異較大，p̂2 有偏但變異較小。當 p 接近 0 或 1（p(1−p) 小）時 MSE(p̂2) 通常小於 MSE(p̂1)；p 接近 1/2 且 n 大時則以 p̂1 較優。此即偏差—變異數權衡（bias-variance tradeoff），答題宜寫出比較條件而非斷言何者恆優。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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