民國112年 地方三等 統計 抽樣方法
第2題
將母體按照某一標準分成N 個集群（ i m 為集群i 中的元素個數， M N i i m ），再由這N 個集群中用簡單隨機抽樣法抽出n 個集群，被 抽中的集群中…
題目
將母體按照某一標準分成N 個集群（ i m 為集群i 中的元素個數， M N i i m ），再由這N 個集群中用簡單隨機抽樣法抽出n 個集群，被 抽中的集群中的每一個元素均被調查。假設 iy 為第i 個集群中所有觀測 值的總和，欲估計母體的總和。母體總和τ的估計量有： 比率估計量⑴： ˆ n i i n i i y M m 不偏估計量⑵： ˆ n i i N y n 或是由這N 個集群中用pps（sampling with probabilities proportional to size）抽出n 個集群，被抽中的集群中的每一個元素均被調查。則母體總 和τ的估計量： pps 估計量⑶： ˆ n i pps i i y M n m 請說明此三估計量之使用時機。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、情境設定：母體分為 N 個集群（cluster），集群 i 有 m_i 個元素，Σm_i＝M。第一階段以簡單隨機抽樣抽出 n 個集群，並對中選集群全面調查，屬於一階段集群抽樣（one-stage cluster sampling）。三式的差別在於是否使用集群規模 m_i 作為輔助資訊，以及抽樣設計不同。
- 二、比率估計量（ratio estimator）：以樣本集群的「每元素平均觀測值」乘上母體總元素數 M 來推估總和。適用時機為：各集群規模 m_i 差異懸殊，且集群總和 y_i 與規模 m_i 高度正相關；M 為已知，且容許小樣本偏誤，以換取較小的變異數。若 m_i 與 y_i 不相關，則比率估計未必優於不偏估計。
- 三、不偏估計量（unbiased estimator）：τ̂＝(N／n)Σy_i，僅使用集群總和，不依賴 m_i，為等機率抽出集群時的 Horvitz–Thompson 型估計。適用於各集群規模大致相等、法規或分析上要求不偏，或無法取得可靠 m_i 的情況；當 m_i 差異大時，各集群代表性不一，變異數會明顯偏大。
- 四、PPS 估計量：以與 m_i 成比例的機率抽出集群（probability proportional to size），中選機率 π_i＝n m_i／M，估計式為 τ̂_pps＝(M／n)Σ(y_i／m_i)。適用於集群規模差異懸殊、可取得規模變數且能執行 PPS 抽樣（如 Hansen–Hurwitz）者；具自加權（self-weighting）性質，每個元素入樣機率相等，估計式簡單、變異較穩定，但須注意抽出方式為放回或 πPS，變異估計式隨之不同。
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