民國112年 地方三等 統計 抽樣方法
第4題
表一為臺灣60 大城市之11 月份降雨量（單位：公厘mm）。城市1 至城 市60 排列方式是依地理位置從北到南依序排列。城市號碼愈小所在位 置也就愈偏臺灣北部，…
題目
表一為臺灣60 大城市之11 月份降雨量（單位：公厘mm）。城市1 至城 市60 排列方式是依地理位置從北到南依序排列。城市號碼愈小所在位 置也就愈偏臺灣北部，城市號碼愈大所在位置也就愈偏臺灣南部。 假設用簡單隨機抽樣法抽出 n 個臺灣大城市（10 個樣本的號碼如 下：2、12、16、20、24、27、32、40、47、56），試估計臺灣60 大城 市之11 月份平均降雨量( ˆ) 及其估計變異數( ˆ( )ˆ ) V ？（10 分） 選擇一組10 個樣本的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼3。 試以此組系統樣本估計臺灣60 大城市之11 月份平均降雨量( ˆ) 及其 估計變異數( ˆ( )ˆ ) V ？假設母體為隨機排列。（10 分） 如果採重複系統抽樣，抽出兩個"12 取1"的系統樣本，為統一起見， 一律採用起始號碼1 及6。試以此兩組重複系統樣本估計臺灣60 大城 市之11 月份平均降雨量( ˆ) 及其估計變異數( ˆ( )ˆ ) V ？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、簡單隨機抽樣（SRS）：抽出城市 2、12、16、20、24、27、32、40、47、56，其降雨量依序為 4.7、3.5、3.4、4.8、3.4、2.9、1.8、4.5、0.6、0.8，合計 30.4，故 μ̂＝30.4／10＝3.04 公厘。
- 二、SRS 之估計變異數：樣本變異數 s²＝Σ(y_i－3.04)²／9＝20.984／9＝2.332。V̂(μ̂)＝(1－n／N)s²／n＝(1－10／60)×2.332／10＝0.8333×0.2332＝0.194，標準誤約 0.44 公厘。
- 三、系統抽樣（1-in-6，起始號碼 3）：取城市 3、9、15、21、27、33、39、45、51、57，值為 4.8、4.5、4.3、4.2、2.9、2.7、2.6、2.1、1.4、0.5，合計 30.0，μ̂＝3.00；s²＝18.50／9＝2.056，V̂＝(1－10／60)×2.056／10＝0.171。因母體依地理位置由北而南排列、具有趨勢，系統樣本較均勻涵蓋全區間，通常較 SRS 有效率。
- 四、重複系統抽樣（兩個 1-in-12，起始號碼 1 與 6）：第一組取城市 1、13、25、37、49，值 4.9、3.9、1.8、3.2、1.7，平均 3.10；第二組取城市 6、18、30、42、54，值 4.8、3.6、2.7、2.4、1.0，平均 2.90。合併估計 μ̂＝(3.10＋2.90)／2＝3.00。
- 五、重複系統之變異數：以各組樣本均數間的變異估計，V̂(μ̂)＝Σ(μ̂_j－μ̂)²／[m(m－1)]＝[(0.10)²＋(－0.10)²]／(2×1)＝0.020／2＝0.010。自由度僅 1，估計極不穩定，實務宜取 m≥10 組。三法點估計相近（3.00～3.04），但變異估計差異甚大，須併同母體排列資訊判讀。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。