民國110年 地方三等 經建行政 統計學
第3題
鎮平公司有兩條生產線，假定生產線A 平均每2 小時會產出一件不 良品，而生產線B 則是平均每3 小時會產出一件不良品，假定兩條 生產線互相獨立而且不良品的產出均…
題目
鎮平公司有兩條生產線，假定生產線A 平均每2 小時會產出一件不 良品，而生產線B 則是平均每3 小時會產出一件不良品，假定兩條 生產線互相獨立而且不良品的產出均服從布瓦松過程（Poisson Process），在每天上午8 點兩條生產線同時開動後，請回答下列問題： 第一件不良品是由生產線A 生產出來的機率為何？（10 分） 試問生產線B 在中午12 點暫停休息之前，沒有產出任何一件不良 品之機率為何？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：不良品產出服從布瓦松過程（Poisson process）。生產線 A 平均每 2 小時產出 1 件，故 λA = 0.5 件／小時；生產線 B 平均每 3 小時產出 1 件，故 λB = 1／3 ≈ 0.3333 件／小時。兩線獨立且於上午 8 時同時啟動，首次出現不良品之等待時間 TA ~ Exp(λA)、TB ~ Exp(λB)，且相互獨立。
- 二、第一件不良品由 A 線產出之機率：P(TA < TB) = ∫(0→∞) λA e^(−λA t) P(TB > t) dt = ∫(0→∞) λA e^(−(λA+λB)t) dt = λA／(λA + λB)。代入得 0.5／(0.5 + 0.3333) = 0.5／0.8333 = 0.6，即 60%。此即競爭風險（competing risks）下各過程發生率之比例。
- 三、B 線於中午 12 時前無不良品之機率：8 時至 12 時共 4 小時，B 線產出件數 NB(4) ~ Poisson(λB × 4 = 4／3)，故 P(NB(4) = 0) = e^(−4/3) = e^(−1.3333) ≈ 0.2636，約 26.36%。以指數分配計算 P(TB > 4) = e^(−4/3) 可得相同結果，可相互驗證。
- 四、補充與限制：本題分別運用競爭風險與無記憶性（memoryless property）性質，計算時務必統一時間單位為小時，並辨明 λ 是「每單位時間平均件數」而非「每件平均時間」。若實際生產有換線、批次或不良率隨機變動（over-dispersion），布瓦松假設不成立，結論須修正。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。