民國111年 地方三等 經建行政 統計學
第3題
定義X 及Y 為獨立的標準常態分布隨機變數，令U X / Y
題目
定義X 及Y 為獨立的標準常態分布隨機變數，令U X / Y 及V Y 。試 計算U 和V 之機率密度函數，並說明U 和V 分別為何分布。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、變數變換設定：令 X、Y 為獨立的標準常態隨機變數，聯合密度為 f(x,y) = (1/2π)exp[−(x²+y²)/2]，−∞ < x, y < ∞。題幹中 V 的定義符號脫漏，以下假設 V = |Y|（若 V = Y，只需將下述 v 的範圍改為全實數）。取變換 u = x/y、v = |y|，反函數為 x = uv、y = ±v，v > 0，屬於二對一變換。
- 二、雅可比行列式與聯合密度：∂(x,y)/∂(u,v) 之絕對值為 v，因 y = ±v 兩支各貢獻一次，聯合密度須乘以 2：fU,V(u,v) = 2·(1/2π)exp[−(u²v² + v²)/2]·v = (v/π)exp[−v²(1+u²)/2]，u ∈ ℝ，v > 0。此式即 U 與 V 之聯合機率密度函數。
- 三、U 之邊際密度：對 v 積分，fU(u) = ∫0∞ (v/π)exp[−v²(1+u²)/2]dv，令 w = v²(1+u²)/2 可得 fU(u) = 1/[π(1+u²)]，−∞ < u < ∞。此為自由度 1 的 t 分布，即標準柯西分布（standard Cauchy distribution），其期望值與變異數均不存在。
- 四、V 之邊際密度：對 u 積分，利用 ∫exp(−u²v²/2)du = √(2π)/v，可得 fV(v) = √(2/π)·exp(−v²/2)，v > 0，即半常態分布（half-normal distribution），亦即參數 σ = 1 的 Rayleigh 分布。若採 V = Y，則 fV(v) = (1/√(2π))exp(−v²/2)，−∞ < v < ∞，為標準常態分布。
- 五、獨立性與作答提醒：聯合密度 (v/π)exp[−v²(1+u²)/2] 無法分解為 fU(u)·fV(v)，故 U 與 V 不獨立；此與「X/Y 與 √(X²+Y²) 獨立」的常見結論不同，切勿混淆。繪圖時請標明 u 軸涵蓋全實數、v 軸僅取正半軸，並註記 fU 對 u = 0 對稱、fV 在 v = 0 處最高且向右單調遞減。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。