民國112年 地方三等 經建行政 統計學
第2題
勞動部的報告指出，所有失業人口的母體中，失業之平均時間為17.5 週， 失業時間之標準差為4 週。令X 代表50 個樣本之平均失業週數。 試問X 的抽樣分配（包…
題目
勞動部的報告指出，所有失業人口的母體中，失業之平均時間為17.5 週， 失業時間之標準差為4 週。令X 代表50 個樣本之平均失業週數。 試問X 的抽樣分配（包括分配與參數）？（6 分） 試問樣本平均值落在母體平均值1 週之內的機率為何？（9 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令母體平均數 μ=17.5 週、母體標準差 σ=4 週、樣本數 n=50。依中央極限定理（central limit theorem, CLT），當 n 足夠大，樣本平均數 X̄ 的抽樣分配近似常態分配，平均數 E(X̄)=μ=17.5，標準誤 SE(X̄)=σ/√n=4/√50≈0.5657。
- 二、因此可寫 X̄ 約服從 N(17.5, 0.5657²)，變異數為 16/50=0.32。題目未給母體分配型態，n=50 下以常態近似處理；若母體本身為常態，則 X̄ 為精確常態。若採有限母體校正，需另知母體規模，題目未提供。
- 三、所求為 P(16.5≤X̄≤18.5)。標準化 Z=(X̄-17.5)/0.5657，得上下界 z=(±1)/0.5657≈±1.768。故機率=P(-1.768≤Z≤1.768)=2Φ(1.768)-1。
- 四、查標準常態表 Φ(1.768)≈0.9615，故機率≈2×0.9615-1=0.9230，約 92.3%。亦即 50 人樣本平均失業週數有相當高機率落在母體平均 1 週內；此為近似值，實際機率隨查表精度略異。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。