民國112年 地方三等 經建行政 統計學考古題
民國112年 地方三等 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 6 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
一家化工廠的管理主管調查該工廠發生誤工事故的數量。根據歷史紀錄
顯示，去年有6%的員工遭遇誤工事故。今年因一項特殊的安全計畫將
使此類事故減少至5%。預估去年發生誤工事故的員工中將有15%之員
工在今年會再發生誤工事故。（每小題5 分，共10 分）
試估算這兩年皆遭遇誤工事故的員工比例為何？
這兩年內至少遭受一次誤工事故的員工比例為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設 L 為「去年曾發生誤工事故」事件，T 為「今年曾發生誤工事故」事件。題意給定 P(L)=0.06、P(T)=0.05，且 P(T|L)=0.15。此處 15% 是條件機率（conditional probability），不是兩年同時發生的機率，必須以乘法規則處理。
- 二、兩年皆發生為 L∩T，依乘法規則 P(L∩T)=P(L)P(T|L)=0.06×0.15=0.009，即 0.9%。亦可理解為去年每 100 名員工中約 6 人發生事故，其中約 15% 今年再發生，故約 0.9 人同時符合。
- 三、兩年內至少一次為 L∪T，依加法規則 P(L∪T)=P(L)+P(T)-P(L∩T)=0.06+0.05-0.009=0.101，即 10.1%。若拆成「僅去年」「僅今年」「兩年皆」三類，分別為 5.1%、4.1%、0.9%，合計同為 10.1%。
- 四、管理上可解讀為安全計畫使今年事故率下降，但仍有約 0.9% 員工連續兩年發生事故，宜列為高風險群加強輔導。計算前提是 15% 的再發生率可代表去年事故者，且不因今年計畫而改變；若母體或條件機率變動，結論需修正。
勞動部的報告指出，所有失業人口的母體中，失業之平均時間為17.5 週，
失業時間之標準差為4 週。令X 代表50 個樣本之平均失業週數。
試問X 的抽樣分配（包括分配與參數）？（6 分）
試問樣本平均值落在母體平均值1 週之內的機率為何？（9 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令母體平均數 μ=17.5 週、母體標準差 σ=4 週、樣本數 n=50。依中央極限定理（central limit theorem, CLT），當 n 足夠大，樣本平均數 X̄ 的抽樣分配近似常態分配，平均數 E(X̄)=μ=17.5，標準誤 SE(X̄)=σ/√n=4/√50≈0.5657。
- 二、因此可寫 X̄ 約服從 N(17.5, 0.5657²)，變異數為 16/50=0.32。題目未給母體分配型態，n=50 下以常態近似處理；若母體本身為常態，則 X̄ 為精確常態。若採有限母體校正，需另知母體規模，題目未提供。
- 三、所求為 P(16.5≤X̄≤18.5)。標準化 Z=(X̄-17.5)/0.5657，得上下界 z=(±1)/0.5657≈±1.768。故機率=P(-1.768≤Z≤1.768)=2Φ(1.768)-1。
- 四、查標準常態表 Φ(1.768)≈0.9615，故機率≈2×0.9615-1=0.9230，約 92.3%。亦即 50 人樣本平均失業週數有相當高機率落在母體平均 1 週內；此為近似值，實際機率隨查表精度略異。
一位球場老闆宣稱他的球場地形比較複雜，以至於高爾夫球員打一回合
後會丟失一打或更多的高爾夫球。一位高爾夫球員懷疑這位球場老闆誇
大的宣稱。他蒐集完成一回合的15 位高爾夫球員的隨機樣本，並記錄每
人丟失的高爾夫球數如下：
1,14,8,15,17,10,12,6,14,21,15,9,11,4,8
假設丟失的高爾夫球數服從常態分配。在5%的顯著水準下，以上數據能
否推翻球場老闆誇大的宣稱？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令 μ 為高爾夫球員一回合平均丟失球數。老闆宣稱平均至少一打，即 μ≥12；球員懷疑誇大，故建立 H0: μ≥12（檢定時以邊界 μ=12 計算）對 H1: μ<12，採左尾單尾檢定，顯著水準 α=0.05。
- 二、樣本 n=15，計算 Σx=165，平均 x̄=11；Σx²=2199，樣本變異數 s²=(2199-165²/15)/14=384/14≈27.429，s≈5.237。檢定統計量 t=(x̄-12)/(s/√15)=(-1)/(5.237/3.873)≈-0.739，df=14。
- 三、df=14 的左尾 p 值為 P(T14≤-0.739)≈0.236；臨界值 t0.05,14≈-1.761。因 -0.739 未小於 -1.761，且 p≈0.236>0.05，不拒絕 H0。
- 四、結論：在 5% 水準下，樣本資料不足以推翻老闆「平均至少一打」的宣稱，不能據此認定其誇大。此結論建立在丟失球數服從常態、樣本隨機且獨立的假設上；若改採雙尾檢定，p 值約 0.472，結論仍相同。
某雜誌蒐集兩家超市A 和B 的顧客滿意度評級。每位調查受訪者都被
要求根據多種因素對指定超市進行評分，例如：產品品質、價格、結帳
效率、服務等。整體滿意度得分總結了每位受訪者的評分，分數100 表
示受訪者在所有因素方面都完全滿意。樣本數據整理如下：
（每小題15 分，共30 分）
A 超市：250 位客戶，整體滿意度平均分數86。
B 超市：300 位客戶，整體滿意度平均分數85。
某雜誌假設兩家超市整體滿意度的母體標準差皆為12，在0.05 顯著
水準下，試以p 值方式檢定兩家超市的整體滿意度平均分數是否有顯
著差異。
試計算兩家超市的整體滿意度平均分數的差異之95%的信賴區間，並
以此信賴區間檢定兩家超市的整體滿意度平均分數是否有顯著差異。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設 μA、μB 為兩超市整體滿意度母體平均數。檢定 H0: μA-μB=0 對 H1: μA-μB≠0，α=0.05。兩樣本獨立，母體標準差已知同為 σ=12，故採兩獨立樣本 z 檢定（two-sample z test）。
- 二、差異估計值 x̄A-x̄B=86-85=1。標準誤 SE=√(σ²/nA+σ²/nB)=√(144/250+144/300)=12√(0.004+0.003333)≈1.0276。檢定統計量 z=1/1.0276≈0.973。
- 三、p 值為 2[1-Φ(0.973)]≈2(1-0.8348)=0.3304。因 p≈0.330>0.05，不拒絕 H0；在 5% 顯著水準下，尚無足夠證據顯示兩家超市整體滿意度平均分數有顯著差異。
- 四、95% 信賴區間為 (x̄A-x̄B)±z0.975×SE=1±1.96×1.0276，即 1±2.014，約 (-1.014, 3.014)。區間涵蓋 0，與前述不拒絕 H0 的結論一致；區間也顯示 A 可能高於 B 約 3 分，也可能低於 B 約 1 分。
- 五、此檢定的前提是兩樣本獨立、母體標準差已知且分別為 12，或樣本數大使 z 近似適用；母體非常態時，250 與 300 的樣本量通常可依 CLT 支持近似。若標準差實際未知，應改以樣本標準差與 t 檢定，並注意實務顯著性與統計顯著性不同。
下列資料是根據國家顧客滿意度指數蒐集的三家公司連續兩年的平均
滿意度分數。假設每家公司每年隨機抽取60 名客戶做為樣本。假設此三
家公司每年滿意度分數的標準差均為6 分。
公司
今年
去年
A
B
C
資料顯示此三家公司今年的滿意度分數均較去年降低。若以α
0.05
進行
假設檢定，試問下降分數須有多大才具有統計顯著性？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、對任一公司 i，令 μi,今、μi,去 分別為今年與去年滿意度母體平均數，定義下降量 Di=μi,去-μi,今。檢定 H0: Di≤0（即今年未低於去年）對 H1: Di>0，採右尾單尾檢定，α=0.05。
- 二、若兩年樣本相互獨立，且每年 n=60、σ=6，則兩年平均數差的標準誤 SE=√(σ²/n+σ²/n)=√(36/60+36/60)=√1.2≈1.0954。檢定統計量 z=(x̄去-x̄今)/SE；在虛無假設下近似標準常態。
- 三、單尾 α=0.05 的臨界值 z0.95≈1.645，故須有 (x̄去-x̄今)>1.645×1.0954≈1.80 分，才達統計顯著。若題意採雙尾「有無差異」檢定，則門檻為 1.96×1.0954≈2.15 分；依「下降」之方向性，本文以 1.80 分為判準。
- 四、題幹表格的實際分數缺漏，故無法判定 A、B、C 三家實際下降是否超過門檻，也無法算出各自 p 值；題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能確定單尾檢定下約需下降 1.80 分。另若兩年調查的是同一批客戶（配對樣本），須知兩年分數相關係數或差異標準差，不能直接沿用上開獨立樣本公式。
在完全隨機的設計中，有一個因子包含五個水準，每個水準下都使用了
七個實驗單元。變異數分析表如下：
變異來源
平方合
自由度
均方
F
處理
誤差
總合
試寫下F 值對應之虛無與對立假設，並在α
0.05
的顯著水準下，以p 值
方式進行假設檢定。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、完全隨機設計（completely randomized design, CRD）中，因子有 5 個水準，每水準 7 個實驗單位，總樣本 N=35。令 μj 為第 j 水準的母體平均數，虛無假設 H0: μ1=μ2=μ3=μ4=μ5；對立假設 H1: 至少有一水準平均數與其他不同（not all equal）。
- 二、變異數分析的自由度為：處理 df=k-1=5-1=4，誤差 df=N-k=35-5=30，總 df=N-1=34。若表中處理平方和為 SSTR、誤差平方和為 SSE，則 MSTR=SSTR/4、MSE=SSE/30，F=MSTR/MSE。
- 三、在 H0 成立且常態、變異數同質、觀測獨立之前提下，F 服從 F(4,30)。p 值定義為 P(F4,30≥Fobs)；以 p 值法，若 p<0.05 拒絕 H0，若 p≥0.05 則不拒絕 H0。α=0.05 的臨界值約 F0.95(4,30)=2.69，故 Fobs>2.69 亦等於拒絕。
- 四、題幹的平方和、均方與 F 值欄位均缺漏，無法算出 Fobs 與唯一 p 值，只能列出檢定規則；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生作答時應先補齊 SSTR 與 SSE，再依上述公式計算。
- 五、若檢定結果拒絕 H0，僅能說五個水準中至少有一組平均數不同，不能直接宣稱所有水準兩兩皆有差異；此時應再進行事後多重比較（post hoc comparison），並控制整體型一誤差。若未拒絕 H0，則資料不足以支持因子效果存在。