民國114年 地方三等 經建行政 統計學
第2題
依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲 以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： 隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數…
題目
依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲 以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： 隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數，寫出X 的機率分配 函數。（6 分） 承 ，計算會抽到超過2 人為近視的機率（亦即P(X > 2)）。（6 分） 隨機抽取1000 人，剛好880 人為近視的機率（請以常態分配機率 近似）。（12 分） 若隨機變數Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出Y 的機率分配 函數。（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、X為8人中近視人數，每次抽取為伯努利試驗且獨立、機率固定p=0.872，故X服從二項分配（binomial distribution）B(8,0.872)，機率質量函數P(X=x)=C(8,x)(0.872)^x(0.128)^(8-x)，x=0,1,…,8，期望值np=6.976。
- 二、P(X>2)=1-P(0)-P(1)-P(2)。P(0)=0.128^8≈0.0000001，P(1)=8(0.872)(0.128)^7≈0.0000039，P(2)=28(0.872)^2(0.128)^6≈0.0000936，三者合計約0.0000976，故P(X>2)≈0.9999024，幾近必然。
- 三、n=1000時np=872、npq=111.616、標準差10.5648。以常態近似並作連續性校正：P(X=880)≈P(879.5<X<880.5)=Φ(0.8046)-Φ(0.7094)=0.7895-0.7610=0.0285；不作校正則約0.0284。
- 四、Y定義為抽到第10位近視者時之抽取總人數，屬負二項分配（negative binomial），P(Y=y)=C(y-1,9)(0.872)^10(0.128)^(y-10)，y=10,11,…，期望值r/p=10/0.872≈11.47。
- 五、注意事項：常態近似須np與n(1-p)均大於5（此處872與128皆滿足）；若採有限母體且不放回抽樣，宜加有限母體校正；負二項之次數定義須與題意一致，勿與二項分配混淆。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。