民國110年 地方三等 農業行政 統計學
第3題
鎮平公司有兩條生產線，假定生產線A 平均每2 小時會產出一件不 良品，而生產線B 則是平均每3 小時會產出一件不良品，假定兩條 生產線互相獨立而且不良品的產出均…
題目
鎮平公司有兩條生產線，假定生產線A 平均每2 小時會產出一件不 良品，而生產線B 則是平均每3 小時會產出一件不良品，假定兩條 生產線互相獨立而且不良品的產出均服從布瓦松過程（Poisson Process），在每天上午8 點兩條生產線同時開動後，請回答下列問題： 第一件不良品是由生產線A 生產出來的機率為何？（10 分） 試問生產線B 在中午12 點暫停休息之前，沒有產出任何一件不良 品之機率為何？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：布瓦松過程（Poisson process）中，事件發生具獨立增量且發生率固定。生產線A平均每2小時產出一件不良品，發生率 λA＝1/2＝0.5 件/小時；生產線B平均每3小時一件，λB＝1/3≈0.333 件/小時。兩線獨立且於上午8時同時開動，屬兩獨立布瓦松過程之競爭（competing Poisson processes）。
- 二、第一件不良品來自A之機率：獨立布瓦松過程下，各線首次發生時間服從指數分配，期望值為 1/λ。第一件不良品由A產出之機率等於A之發生率占總發生率之比例：P＝λA/(λA＋λB)＝0.5/(0.5＋1/3)＝0.5/(5/6)＝0.6。
- 三、驗算與說明：亦可寫成 P(TA＜TB)＝∫0∞ λA·e^(−(λA＋λB)t) dt＝λA/(λA＋λB)＝0.6，與和合過程（superposition）之性質一致。此機率與時間起點無關，僅取決於兩線相對速率；A線速率為B線之1.5倍，故A先出現不良品之機會明顯較高（60% 對 40%）。
- 四、B線於中午12時前無不良品之機率：上午8時至12時共4小時，B線於4小時內之不良品件數 N～Poisson(λB×4＝4/3)，故 P(N＝0)＝e^(−4/3)＝e^(−1.3333)≈0.2636。亦即約有26.4%之機會在休息前B線完全不產出不良品；本小題僅就B線本身計算，不考慮A線之產出情形。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。