假設ܺ௜為解釋變數、ܻ௜為反應變數，且 1,2,..., i n｜111年地方三等農業行政統計學第2題題目

Question

假設ܺ௜為解釋變數、ܻ௜為反應變數，且 1,2,..., i n 。為了描述兩變數之關 聯性，擬建立簡單線性迴歸模型：ܻ௜= ߚ଴+ ߚଵܺ௜+ ߝ௜，其中ߝଵ, … , ߝ௡為獨 立且相同 (0, ) N 分佈之誤差。請利用下方訊息回答問題： , , , , n n n i i i i i i i n X Y X Y , n n i i i i X Y 。 試計算並寫出最小平方估計方程式。（10 分） 試計算並解釋判定係數（Coefficient of Determination; R2）及樣本相關 係數（Sample Correlation Coefficient）。（10 分） 試計算並解釋當 X 時，Y 的期望值之95%信賴區間。（10 分） （參考值：0.025,12 0.05,12 0.025,13 0.05,13 2.179, 1.782, 2.160, 1.771 t t t t 0.025,14 0.05,14 2.145, 1.761 t t ）

Accepted Answer

一、模型與最小平方估計式：模型為 Y_i＝β_0＋β_1X_i＋ε_i，ε_i 獨立服從 N(0, σ²)。最小平方估計式為 b_1＝[nΣX_iY_i－(ΣX_i)(ΣY_i)]／[nΣX_i²－(ΣX_i)²]，b_0＝Ȳ－b_1X̄，估計迴歸線為 Ŷ＝b_0＋b_1X。另可寫為 b_1＝S_xy/S_xx，S_xx＝Σ(X_i－X̄)²。 二、判定係數：R²＝SSR/SST＝1－SSE/SST，其中 SST＝Σ(Y_i－Ȳ)²、SSR＝b_1²S_xx、SSE＝SST－SSR。R² 代表反應變數總變異中，可由解釋變數之線性迴歸解釋的比例，值介於 0 與 1 之間，愈接近 1 表示配適愈佳；計算需 n、ΣX、ΣY、ΣXY、ΣX²、ΣY² 等充分統計量。 三、樣本相關係數：r＝S_xy／√(S_xx S_yy)＝[nΣXY－ΣXΣY]／√{[nΣX²－(ΣX)²][nΣY²－(ΣY)²]}，其正負號與 b_1 相同，且在簡單線性迴歸中恆有 r²＝R²。r 衡量 X 與 Y 線性關聯的方向與強度，絕對值愈接近 1 表示線性關係愈強，接近 0 表示線性關聯微弱。 四、E(Y|X＝x_0) 的 95% 信賴區間：Ŷ_0±t_0.025(n－2)×s×√[1/n＋(x_0－X̄)²/S_xx]，其中 s＝√(SSE/(n－2))、Ŷ_0＝b_0＋b_1x_0。區間在 x_0＝X̄ 時最窄，離 X̄ 愈遠愈寬。題目提供 t_0.025,12、t_0.025,13、t_0.025,14，暗示自由度 n－2 可能為 12、13 或 14，作答時應明確寫出所用自由度。 五、資料缺漏之說明：題目中 n、ΣX_i、ΣY_i、ΣX_iY_i、ΣX_i²、ΣY_i² 及 x_0 之數值均未顯示，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應完整列出公式、代入順序與所需假設（線性、獨立、常態、變異數齊一），並說明以自由度 n－2 查 t 表之理由。

假設ܺ௜為解釋變數、ܻ௜為反應變數，且 1,2,..., i n

題目

參考解答（AI 生成，非官方）

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