民國111年 地方三等 農業行政 統計學考古題

民國111年 地方三等 農業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

某研究擬測試三種品牌汽油的每加侖所能行駛之英哩數。由於不同廠牌 汽車的汽油性能特點不同，實驗選取4 個廠牌汽車作為區集；意即，每 個廠牌的汽車都用每種類型的汽油進行測試。實驗結果如下表：（以英 哩/加侖為單位） 汽油品牌 I II III 汽車 甲 乙 丙 丁 試計算並列出適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVATable）。（20 分） 試寫出檢驗三種品牌汽油之每加侖英哩數差異的虛無假設與對立假 設，計算檢定統計量，並說明在5%之顯著水準下，三種品牌汽油之每 加侖英哩數是否有顯著差異。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、設計與模型：本題為隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD），三種汽油品牌為處理（treatment），四個汽車廠牌為區集（block）；每一區集內每種汽油各測試一次，共 3×4＝12 筆觀測值。模型為 y_ij＝μ＋τ_i＋β_j＋ε_ij，ε_ij 獨立服從 N(0, σ²)，並假設處理與區集間無交互作用。
  • 二、平方和分解與自由度：總平方和 SST＝ΣΣ(y_ij－ȳ..)²，自由度 12－1＝11；處理平方和 SS_tr＝bΣ(ȳ_i.－ȳ..)²，自由度 t－1＝2；區集平方和 SS_bl＝tΣ(ȳ_.j－ȳ..)²，自由度 b－1＝3；誤差平方和 SSE＝SST－SS_tr－SS_bl，自由度 (t－1)(b－1)＝2×3＝6。
  • 三、變異數分析表配置：欄位依序為變異來源、平方和、自由度、均方、F 值與 p 值；各列為汽油品牌（SS_tr，2，MS_tr＝SS_tr/2，F＝MS_tr/MSE）、汽車廠牌（SS_bl，3，MS_bl＝SS_bl/3，F＝MS_bl/MSE）、誤差（SSE，6，MSE＝SSE/6）與總和（SST，11）。考生應以表格逐列呈現，並標明 MSE 為檢定之分母。
  • 四、資料缺漏之處理：題目表格僅列出甲、乙、丙、丁與 I、II、III 之名稱，未附 12 個英哩/加侖觀測值，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應先完整列出上述平方和公式與自由度，說明帶入 12 筆數據後依序求得各 SS、MS，再計算 F 值並對照 F 表求 p 值。
  • 五、假設檢定與結論：H0：μ_I＝μ_II＝μ_III（即 τ_1＝τ_2＝τ_3＝0），Ha：三者平均數不全相等。檢定統計量 F＝MS_tr/MSE，在 H0 下服從 F(2, 6)。α＝0.05 時臨界值 F_0.05(2,6)＝5.14，若 F＞5.14 則拒絕 H0，可判定三種品牌汽油每加侖英哩數有顯著差異；否則不拒絕，實際數值須待數據補齊後判定。

第2題

假設ܺ௜為解釋變數、ܻ௜為反應變數，且 1,2,..., i n 。為了描述兩變數之關 聯性，擬建立簡單線性迴歸模型：ܻ௜= ߚ଴+ ߚଵܺ௜+ ߝ௜，其中ߝଵ, … , ߝ௡為獨 立且相同 (0, ) N 分佈之誤差。請利用下方訊息回答問題： , , , , n n n i i i i i i i n X Y X Y , n n i i i i X Y 。 試計算並寫出最小平方估計方程式。（10 分） 試計算並解釋判定係數（Coefficient of Determination; R2）及樣本相關 係數（Sample Correlation Coefficient）。（10 分） 試計算並解釋當 X 時，Y 的期望值之95%信賴區間。（10 分） （參考值：0.025,12 0.05,12 0.025,13 0.05,13 2.179, 1.782, 2.160, 1.771 t t t t 0.025,14 0.05,14 2.145, 1.761 t t ）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、模型與最小平方估計式：模型為 Y_i＝β_0＋β_1X_i＋ε_i，ε_i 獨立服從 N(0, σ²)。最小平方估計式為 b_1＝[nΣX_iY_i－(ΣX_i)(ΣY_i)]／[nΣX_i²－(ΣX_i)²]，b_0＝Ȳ－b_1X̄，估計迴歸線為 Ŷ＝b_0＋b_1X。另可寫為 b_1＝S_xy/S_xx，S_xx＝Σ(X_i－X̄)²。
  • 二、判定係數：R²＝SSR/SST＝1－SSE/SST，其中 SST＝Σ(Y_i－Ȳ)²、SSR＝b_1²S_xx、SSE＝SST－SSR。R² 代表反應變數總變異中，可由解釋變數之線性迴歸解釋的比例，值介於 0 與 1 之間，愈接近 1 表示配適愈佳；計算需 n、ΣX、ΣY、ΣXY、ΣX²、ΣY² 等充分統計量。
  • 三、樣本相關係數：r＝S_xy／√(S_xx S_yy)＝[nΣXY－ΣXΣY]／√{[nΣX²－(ΣX)²][nΣY²－(ΣY)²]}，其正負號與 b_1 相同，且在簡單線性迴歸中恆有 r²＝R²。r 衡量 X 與 Y 線性關聯的方向與強度，絕對值愈接近 1 表示線性關係愈強，接近 0 表示線性關聯微弱。
  • 四、E(Y|X＝x_0) 的 95% 信賴區間：Ŷ_0±t_0.025(n－2)×s×√[1/n＋(x_0－X̄)²/S_xx]，其中 s＝√(SSE/(n－2))、Ŷ_0＝b_0＋b_1x_0。區間在 x_0＝X̄ 時最窄，離 X̄ 愈遠愈寬。題目提供 t_0.025,12、t_0.025,13、t_0.025,14，暗示自由度 n－2 可能為 12、13 或 14，作答時應明確寫出所用自由度。
  • 五、資料缺漏之說明：題目中 n、ΣX_i、ΣY_i、ΣX_iY_i、ΣX_i²、ΣY_i² 及 x_0 之數值均未顯示，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應完整列出公式、代入順序與所需假設（線性、獨立、常態、變異數齊一），並說明以自由度 n－2 查 t 表之理由。

第3題

定義X 及Y 為獨立的標準常態分布隨機變數，令U X / Y 及V Y 。試 計算U 和V 之機率密度函數，並說明U 和V 分別為何分布。（20 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、變數變換與雅可比：令 U＝X/Y、V＝Y，反變換為 X＝UV、Y＝V，雅可比（Jacobian）J＝|∂(x,y)/∂(u,v)|＝|v|。因 X、Y 獨立且均為標準常態，聯合密度為 f(x,y)＝(1/2π)exp[－(x²＋y²)/2]，代入得 f_{U,V}(u,v)＝(1/2π)|v|exp[－v²(u²＋1)/2]，－∞＜u,v＜∞。
  • 二、U 的邊際機率密度：對 v 積分，f_U(u)＝∫(1/2π)|v|exp[－v²(1＋u²)/2]dv＝(1/2π)×2/(1＋u²)＝1/[π(1＋u²)]，－∞＜u＜∞。此即標準柯西分布（Cauchy distribution）C(0,1)，亦等於自由度 1 的 t 分布 t(1)；其期望值與變異數均不存在，屬重尾分布。
  • 三、V 的邊際機率密度：對 u 積分，f_V(v)＝(1/2π)|v|exp(－v²/2)×∫exp(－u²v²/2)du＝(1/2π)|v|exp(－v²/2)×√(2π)/|v|＝(1/√(2π))exp(－v²/2)，－∞＜v＜∞。故 V 服從標準常態分布 N(0,1)，與原 Y 之分布相同。
  • 四、獨立性與繪圖要點：因 f_{U,V}(u,v)＝f_U(u)f_V(v)，故 U 與 V 相互獨立。答題時宜畫出 u-v 積分平面並標示 |v| 之絕對值處理方式；因被積函數對 v 對稱，可先處理 v＞0 再乘以 2，以避免正負號錯誤，並標明積分上下限由 －∞ 至 ∞。
  • 五、結論與意義：U＝X/Y 為兩個獨立標準常態變數之商，其分布為柯西分布，不具有限均值與變異數，故不宜以樣本平均估計其位置參數；V＝Y 則維持標準常態。此結果常用以說明常態變數之比值不服從常態，以及 t(1) 與柯西分布之等價性。

第4題

定義母群體平均值為μ，欲進行假設檢定問題： H （虛無假設） a H ： ； （對立假設） ： 。 已知母群體標準差為6，樣本數是36。在95%的信心水準之下，當真實 的母群體平均值為10.68 時，試計算並說明進行此檢定最合適的檢定統 計量之檢定力（Power）是多少？（20 分） 附表一、標準常態分布表(左尾機率)，例如：P(Z ≤1.96) = 0.975 附表二、F分布表(右尾機率)，例如：P(Fଵ,ଶ> 8.53) = 0.10

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、檢定統計量與拒絕域：已知 σ＝6、n＝36，標準誤 σ/√n＝1。檢定 H0：μ＝μ_0 對 Ha：μ≠μ_0，統計量 Z＝(X̄－μ_0)/(σ/√n)＝X̄－μ_0，在 H0 下服從 N(0,1)。α＝0.05（95% 信心水準）之拒絕域為 |Z|＞1.96，即 X̄＞μ_0＋1.96 或 X̄＜μ_0－1.96。
  • 二、檢定力之定義與通式：檢定力（power）＝1－β＝P(拒絕 H0｜H0 為假)，即真實平均數為 μ 時落入拒絕域之機率。對雙尾檢定，power(μ)＝P(X̄＞μ_0＋1.96｜μ)＋P(X̄＜μ_0－1.96｜μ)＝1－Φ(μ_0＋1.96－μ)＋Φ(μ_0－1.96－μ)，其中 Φ 為標準常態累積分布函數。
  • 三、計算步驟與所需假設：以 μ＝10.68 代入得 power＝1－Φ(μ_0－8.72)＋Φ(μ_0－12.64)。因題目未明示虛無假設中 μ_0 之數值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；作答時應先寫出 μ_0，再查標準常態表。若僅為示例而假設 μ_0＝10，則 power＝1－Φ(1.28)＋Φ(－2.64)＝0.1003＋0.0041≈0.104，但此非題目所給條件下之唯一結果。
  • 四、結果解讀與建議：檢定力偏低表示真實平均數僅偏離 μ_0 約 0.68 個標準誤時，檢定不易偵測出差異，型二誤差 β 偏大。可藉提高樣本數、放寬顯著水準或改採單尾檢定以提升檢定力；並應說明 α、β 與檢定力三者之取捨關係，以及母體常態、σ 已知等前提。
  • 五、答題提醒：本題須清楚區分「顯著水準」與「檢定力」、拒絕域以 μ_0 為中心而非以真實 μ 為中心，並以文字說明查表方式；結論應寫成在 5% 顯著水準下是否拒絕 H0，而非直接宣稱假設為真或為假。