民國111年 地方三等 農業行政 統計學
第3題
定義X 及Y 為獨立的標準常態分布隨機變數，令U X / Y
題目
定義X 及Y 為獨立的標準常態分布隨機變數，令U X / Y 及V Y 。試 計算U 和V 之機率密度函數，並說明U 和V 分別為何分布。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、變數變換與雅可比：令 U＝X/Y、V＝Y，反變換為 X＝UV、Y＝V，雅可比（Jacobian）J＝|∂(x,y)/∂(u,v)|＝|v|。因 X、Y 獨立且均為標準常態，聯合密度為 f(x,y)＝(1/2π)exp[－(x²＋y²)/2]，代入得 f_{U,V}(u,v)＝(1/2π)|v|exp[－v²(u²＋1)/2]，－∞＜u,v＜∞。
- 二、U 的邊際機率密度：對 v 積分，f_U(u)＝∫(1/2π)|v|exp[－v²(1＋u²)/2]dv＝(1/2π)×2/(1＋u²)＝1/[π(1＋u²)]，－∞＜u＜∞。此即標準柯西分布（Cauchy distribution）C(0,1)，亦等於自由度 1 的 t 分布 t(1)；其期望值與變異數均不存在，屬重尾分布。
- 三、V 的邊際機率密度：對 u 積分，f_V(v)＝(1/2π)|v|exp(－v²/2)×∫exp(－u²v²/2)du＝(1/2π)|v|exp(－v²/2)×√(2π)/|v|＝(1/√(2π))exp(－v²/2)，－∞＜v＜∞。故 V 服從標準常態分布 N(0,1)，與原 Y 之分布相同。
- 四、獨立性與繪圖要點：因 f_{U,V}(u,v)＝f_U(u)f_V(v)，故 U 與 V 相互獨立。答題時宜畫出 u-v 積分平面並標示 |v| 之絕對值處理方式；因被積函數對 v 對稱，可先處理 v＞0 再乘以 2，以避免正負號錯誤，並標明積分上下限由 －∞ 至 ∞。
- 五、結論與意義：U＝X/Y 為兩個獨立標準常態變數之商，其分布為柯西分布，不具有限均值與變異數，故不宜以樣本平均估計其位置參數；V＝Y 則維持標準常態。此結果常用以說明常態變數之比值不服從常態，以及 t(1) 與柯西分布之等價性。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。