民國112年 地方三等 農業行政 統計學
第2題
勞動部的報告指出，所有失業人口的母體中，失業之平均時間為17.5 週， 失業時間之標準差為4 週。令X 代表50 個樣本之平均失業週數。 試問X 的抽樣分配（包…
題目
勞動部的報告指出，所有失業人口的母體中，失業之平均時間為17.5 週， 失業時間之標準差為4 週。令X 代表50 個樣本之平均失業週數。 試問X 的抽樣分配（包括分配與參數）？（6 分） 試問樣本平均值落在母體平均值1 週之內的機率為何？（9 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、說明 X̄ 的抽樣分配。母體平均數 μ=17.5 週、標準差 σ=4 週，樣本數 n=50。因 n≥30，依中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT），樣本平均數 X̄ 的抽樣分配近似常態分配，即 X̄ ≈ N(μ, σ²/n)。
- 二、列出參數。期望值 E(X̄)=μ=17.5 週；標準誤（standard error）σ_X̄=σ/√n=4/√50=4/7.0711≈0.5657 週。故 X̄ 近似 N(17.5, 0.32)，變異數為 16/50=0.32。
- 三、標準化並求機率。所求為 P(|X̄−17.5|≤1)。令 Z=(X̄−17.5)/0.5657，則 Z 近似標準常態。界限 1/0.5657≈1.7678，故機率為 P(−1.7678≤Z≤1.7678)=2Φ(1.7678)−1≈2(0.9616)−1=0.9232，約 92.3%。
- 四、補充說明與限制。若母體本身非常態且樣本數偏小，常態近似不成立；若採不還原抽樣且 n 占母體比例甚大，應乘有限母體校正係數 √((N−n)/(N−1))，標準誤會更小、機率略高。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。