民國112年 地方三等 農業行政 統計學考古題
民國112年 地方三等 農業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 6 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
一家化工廠的管理主管調查該工廠發生誤工事故的數量。根據歷史紀錄
顯示，去年有6%的員工遭遇誤工事故。今年因一項特殊的安全計畫將
使此類事故減少至5%。預估去年發生誤工事故的員工中將有15%之員
工在今年會再發生誤工事故。（每小題5 分，共10 分）
試估算這兩年皆遭遇誤工事故的員工比例為何？
這兩年內至少遭受一次誤工事故的員工比例為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義事件並列出已知機率。令 A₁ 表示「去年發生誤工事故」，A₂ 表示「今年發生誤工事故」。由題意可知邊際機率 P(A₁)=0.06、P(A₂)=0.05，且條件機率 P(A₂|A₁)=0.15；此條件機率是解題關鍵，代表去年出事者今年再出事的比率，不可與聯合機率混淆。
- 二、計算兩年皆遭遇誤工事故的比例。依乘法法則（multiplication rule），P(A₁∩A₂)=P(A₁)×P(A₂|A₁)=0.06×0.15=0.009，即約 0.9%。此為交集機率，亦是後續聯集計算必須扣除的重複部分。
- 三、計算兩年內至少遭受一次事故的比例。依加法法則（addition rule），P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)−P(A₁∩A₂)=0.06+0.05−0.009=0.101，即約 10.1%。
- 四、提醒易犯錯誤。若誤將兩年視為獨立事件，會算成 0.06×0.05=0.003，低估交集機率；本題已明確給定條件機率，應以 0.009 為準。另可驗算：僅去年 5.1%、僅今年 4.1%、兩年皆 0.9%，合計 10.1%，邏輯一致。
勞動部的報告指出，所有失業人口的母體中，失業之平均時間為17.5 週，
失業時間之標準差為4 週。令X 代表50 個樣本之平均失業週數。
試問X 的抽樣分配（包括分配與參數）？（6 分）
試問樣本平均值落在母體平均值1 週之內的機率為何？（9 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、說明 X̄ 的抽樣分配。母體平均數 μ=17.5 週、標準差 σ=4 週，樣本數 n=50。因 n≥30，依中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT），樣本平均數 X̄ 的抽樣分配近似常態分配，即 X̄ ≈ N(μ, σ²/n)。
- 二、列出參數。期望值 E(X̄)=μ=17.5 週；標準誤（standard error）σ_X̄=σ/√n=4/√50=4/7.0711≈0.5657 週。故 X̄ 近似 N(17.5, 0.32)，變異數為 16/50=0.32。
- 三、標準化並求機率。所求為 P(|X̄−17.5|≤1)。令 Z=(X̄−17.5)/0.5657，則 Z 近似標準常態。界限 1/0.5657≈1.7678，故機率為 P(−1.7678≤Z≤1.7678)=2Φ(1.7678)−1≈2(0.9616)−1=0.9232，約 92.3%。
- 四、補充說明與限制。若母體本身非常態且樣本數偏小，常態近似不成立；若採不還原抽樣且 n 占母體比例甚大，應乘有限母體校正係數 √((N−n)/(N−1))，標準誤會更小、機率略高。
一位球場老闆宣稱他的球場地形比較複雜，以至於高爾夫球員打一回合
後會丟失一打或更多的高爾夫球。一位高爾夫球員懷疑這位球場老闆誇
大的宣稱。他蒐集完成一回合的15 位高爾夫球員的隨機樣本，並記錄每
人丟失的高爾夫球數如下：
1,14,8,15,17,10,12,6,14,21,15,9,11,4,8
假設丟失的高爾夫球數服從常態分配。在5%的顯著水準下，以上數據能
否推翻球場老闆誇大的宣稱？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、建立假設。令 X 為一回合丟失球數，題設 X 服從常態分配。老闆宣稱球員會丟失「一打或更多」，即 μ≥12；球員欲推翻此宣稱，故採左尾檢定：H₀: μ≥12，H₁: μ<12，α=0.05，df=n−1=14。
- 二、計算檢定統計量。n=15，樣本和為 165，x̄=11；離差平方和 Σ(x−x̄)²=384，故 s²=384/14=27.4286，s≈5.237，標準誤 s/√15≈1.352。t=(11−12)/1.352≈−0.74。
- 三、判定。臨界值 t₀.₀₅,₁₄=−1.761；因 −0.74 > −1.761，落入不拒絕區。以 p 值方式，p=P(t₁₄≤−0.74)≈0.24>0.05，同樣不拒絕 H₀。
- 四、結論與限制。資料雖顯示樣本平均 11 球低於 12 球，但差距未達統計顯著，故在 5% 水準下無法推翻老闆的宣稱。惟樣本僅 15 人、檢定力偏低，且結論受常態假設與隨機抽樣品質影響，宜擴大樣本再行判斷。
某雜誌蒐集兩家超市A 和B 的顧客滿意度評級。每位調查受訪者都被
要求根據多種因素對指定超市進行評分，例如：產品品質、價格、結帳
效率、服務等。整體滿意度得分總結了每位受訪者的評分，分數100 表
示受訪者在所有因素方面都完全滿意。樣本數據整理如下：
（每小題15 分，共30 分）
A 超市：250 位客戶，整體滿意度平均分數86。
B 超市：300 位客戶，整體滿意度平均分數85。
某雜誌假設兩家超市整體滿意度的母體標準差皆為12，在0.05 顯著
水準下，試以p 值方式檢定兩家超市的整體滿意度平均分數是否有顯
著差異。
試計算兩家超市的整體滿意度平均分數的差異之95%的信賴區間，並
以此信賴區間檢定兩家超市的整體滿意度平均分數是否有顯著差異。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、建立假設與檢定統計量。H₀: μ_A−μ_B=0，H₁: μ_A−μ_B≠0，α=0.05。母體標準差已知為 12，採 z 檢定。標準誤為 12×√(1/250+1/300)=12×√0.007333≈1.0276；z=(86−85)/1.0276≈0.973。
- 二、以 p 值判定。p=2[1−Φ(0.973)]≈2(0.1652)=0.330。因 0.330>0.05，不拒絕 H₀，無充分證據顯示兩家超市整體滿意度平均分數有顯著差異。
- 三、計算 95% 信賴區間。點估計為 86−85=1；誤差界線為 1.96×1.0276≈2.014。區間為 1±2.014，即 (−1.01, 3.01) 分。
- 四、以信賴區間進行檢定。因 95% 信賴區間包含 0，表示「無差異」落在合理估計範圍內，故不拒絕 H₀，結論與 p 值法一致；此為信賴區間與雙尾檢定的對偶關係。
- 五、解釋與提醒。統計不顯著不等於兩家完全相同，僅表示 1 分之差在抽樣誤差下不足以判定；若實務上要求偵測更小差距，須擴大樣本。若母體標準差未知，應改以 t 檢定並以樣本標準差估計。
下列資料是根據國家顧客滿意度指數蒐集的三家公司連續兩年的平均
滿意度分數。假設每家公司每年隨機抽取60 名客戶做為樣本。假設此三
家公司每年滿意度分數的標準差均為6 分。
公司
今年
去年
A
B
C
資料顯示此三家公司今年的滿意度分數均較去年降低。若以α
0.05
進行
假設檢定，試問下降分數須有多大才具有統計顯著性？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設定檢定架構。每家公司今年與去年各獨立隨機抽取 60 位客戶，屬兩獨立母體平均數比較；已知兩年母體標準差均為 σ=6。檢定 H₀: μ_今−μ_去=0，對立假設為單尾 μ_今−μ_去<0（或雙尾 ≠0），α=0.05。
- 二、計算差異的標準誤。SE=σ×√(1/n₁+1/n₂)=6×√(1/60+1/60)=6×√0.03333≈6×0.1826≈1.0954 分。此標準誤與三家公司的實際分數無關，只取決於 σ 與樣本數。
- 三、求顯著所需的下降幅度。雙尾檢定之臨界值 z₀.₀₂₅=1.96，故須 |下降分數|>1.96×1.0954≈2.15 分；若採單尾檢定，z₀.₀₅=1.645，須下降超過 1.645×1.0954≈1.80 分。
- 四、結論與資料限制。以雙尾檢定為準，任一家公司今年分數較去年下降超過約 2.15 分（單尾約 1.80 分）才具統計顯著性。題目所附三家公司今年與去年的實際分數未載明，故無法逐家判定何者達顯著，僅能得出上述門檻值。
- 五、延伸提醒。若設計改為同一批客戶的前後配對，則應以配對差之標準差計算 SE=σ_d/√60，所需門檻會因 σ_d 而不同；題目未提供 σ_d，故不適用配對檢定。
在完全隨機的設計中，有一個因子包含五個水準，每個水準下都使用了
七個實驗單元。變異數分析表如下：
變異來源
平方合
自由度
均方
F
處理
誤差
總合
試寫下F 值對應之虛無與對立假設，並在α
0.05
的顯著水準下，以p 值
方式進行假設檢定。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、寫出虛無與對立假設。因子有五個水準，令 μ₁,…,μ₅ 為各水準之母體平均數。H₀: μ₁=μ₂=μ₃=μ₄=μ₅（處理效果全為零）；H₁: 五個平均數不全相等（至少有一對不同）。
- 二、說明變異數分析表結構。每水準 7 個實驗單元，總樣本數 N=5×7=35。處理自由度為 k−1=4，誤差自由度為 N−k=30，總自由度為 N−1=34；均方為 MS_處理=SS_處理/4、MS_誤差=SS_誤差/30；檢定統計量 F=MS_處理/MS_誤差。
- 三、p 值判定規則。在 H₀ 成立下 F 服從 F(4,30) 分配。計算 p=P(F(4,30)≥F_觀測)；若 p<0.05 則拒絕 H₀，若 p≥0.05 則不拒絕。等價的臨界值法為 F₀.₀₅(4,30)=2.69，當 F_觀測>2.69 即拒絕 H₀。
- 四、資料缺漏之處理。題目之變異數分析表僅列變異來源，未提供處理、誤差與總和的平方和數值，故無法算出均方、F 值與 p 值的具體數字；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生應先以 SS_總=SS_處理+SS_誤差 補齊資料，再依上述公式與判定規則下結論。
- 五、後續分析建議。若拒絕 H₀，僅能宣稱五個水準的平均數不全相等，仍須進行多重比較（如 Tukey HSD、Fisher LSD）以辨識哪些水準間存在差異；並應檢查殘差常態性與變異數同質性等基本假設是否成立。