民國114年 地方三等 農業行政 統計學
第2題
依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲 以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： 隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數…
題目
依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲 以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： 隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數，寫出X 的機率分配 函數。（6 分） 承 ，計算會抽到超過2 人為近視的機率（亦即P(X > 2)）。（6 分） 隨機抽取1000 人，剛好880 人為近視的機率（請以常態分配機率 近似）。（12 分） 若隨機變數Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出Y 的機率分配 函數。（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、X 的機率分配函數：近視比率 p=0.872，抽取 8 人可視為 8 次獨立伯努利試驗，故 X 服從二項分配（binomial distribution），記為 X ~ Bin(8, 0.872)，其機率函數為 P(X=x)=C(8,x)(0.872)^x(0.128)^(8-x)，x=0,1,…,8，其餘為 0。期望值 E(X)=np=6.976，變異數 Var(X)=np(1-p)=0.8929。
- 二、P(X>2) 的計算：P(X>2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]。其中 P(X=0)=(0.128)^8≈7.21×10^(-8)，P(X=1)=8(0.872)(0.128)^7≈3.93×10^(-6)，P(X=2)=28(0.872)^2(0.128)^6≈9.36×10^(-5)，三者合計約 9.37×10^(-5)。故 P(X>2)≈0.9999（精算約 0.9999063）。因 p 高達 0.872，抽 8 人幾乎必然有超過 2 人近視。
- 三、以常態分配近似 P(X=880)：n=1000，np=872，np(1-p)=111.616，標準差為 10.5649。以連續校正計算 P(879.5<Y<880.5)，z1=(879.5-872)/10.5649=0.7094，z2=(880.5-872)/10.5649=0.8046，查表 Φ(0.8046)=0.7895、Φ(0.7094)=0.7610，相減得 0.0285。若不採連續校正，z=(880-872)/10.5649=0.7572，機率約 0.0283，兩者差異不大。
- 四、Y 的機率分配函數：Y 表抽到第 10 位近視者時所抽取的總人數，屬負二項分配（negative binomial distribution），記為 NB(10, 0.872)，其機率函數為 P(Y=y)=C(y-1,9)(0.872)^10(0.128)^(y-10)，y=10,11,12,…，其餘為 0。期望值 E(Y)=r/p=10/0.872=11.468，即平均約抽 11.47 人可得到 10 位近視者。
- 五、近似條件與限制：本題 np=872、n(1-p)=128 均遠大於 5，常態近似妥適；惟題目所求為單點機率，務必使用連續校正，否則易產生偏差。另二項分配在 p 接近 1 時呈左偏，若樣本數不足，宜改以二項分配精算或考慮以卜瓦松近似。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。