首頁 / 地方三等 農業行政考古題 / 民國114年 地方三等 農業行政 統計學 民國114年 地方三等 農業行政 統計學考古題
民國114年 地方三等 農業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
藉由過去數年的資料蒐集與分析，某段道路發生交通事故的次數，為
每星期平均2 次的卜瓦松分配（Poisson distribution）。試問：（計算
至小數點後4 位）（每小題10 分，共20 分）
在12 月第一個星期的時間內，此段道路上發生2 次及2 次以上交
通事故之機率。
在12 月最後二個星期的時間內，此段道路上發生1 次及1 次以下
交通事故之機率。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模式設定與定義：設隨機變數 X 為該路段在某一星期內發生交通事故的次數，依題意 X 服從卜瓦松分配（Poisson distribution），即 X ~ Poisson(λ)，每週平均 λ=2，其機率函數為 P(X=x)=e^(-2)2^x/x!，x=0,1,2,…。卜瓦松分配要求事件彼此獨立、發生率在期間內穩定不變，且期望值與變異數皆等於 λ=2，計算結果取至小數點後 4 位。 二、第一小題（一星期內 2 次及 2 次以上）：利用補事件計算 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^(-2)-2e^(-2)=1-3e^(-2)。查表 e^(-2)=0.1353353，故 3e^(-2)=0.4060059，P(X≥2)=0.5939941，取 0.5940。以補事件處理可避免對無窮級數逐項求和，是此類右尾機率最簡便的算法。 三、第二小題（最後二星期內 1 次及 1 次以下）：時間單位由一星期擴充為兩星期，平均次數須加倍，設 Y ~ Poisson(4)。所求為左尾機率 P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=e^(-4)+4e^(-4)=5e^(-4)。查表 e^(-4)=0.0183156，故 5e^(-4)=0.0915782，取 0.0916。 四、常見錯誤與提醒：時間單位必須與 λ 一致，兩星期應將 λ 由 2 調整為 4，而非把單週機率平方；「2 次及 2 次以上」屬右尾，「1 次及 1 次以下」屬左尾，兩者切勿顛倒。另本題 λ 不大且觀察期間固定，直接使用卜瓦松分配即可，無須再以二項分配近似，以免增加計算誤差。
依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲
以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題：
隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數，寫出X 的機率分配
函數。（6 分）
承 ，計算會抽到超過2 人為近視的機率（亦即P(X > 2)）。（6 分）
隨機抽取1000 人，剛好880 人為近視的機率（請以常態分配機率
近似）。（12 分）
若隨機變數Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出Y 的機率分配
函數。（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、X 的機率分配函數：近視比率 p=0.872，抽取 8 人可視為 8 次獨立伯努利試驗，故 X 服從二項分配（binomial distribution），記為 X ~ Bin(8, 0.872)，其機率函數為 P(X=x)=C(8,x)(0.872)^x(0.128)^(8-x)，x=0,1,…,8，其餘為 0。期望值 E(X)=np=6.976，變異數 Var(X)=np(1-p)=0.8929。 二、P(X>2) 的計算：P(X>2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]。其中 P(X=0)=(0.128)^8≈7.21×10^(-8)，P(X=1)=8(0.872)(0.128)^7≈3.93×10^(-6)，P(X=2)=28(0.872)^2(0.128)^6≈9.36×10^(-5)，三者合計約 9.37×10^(-5)。故 P(X>2)≈0.9999（精算約 0.9999063）。因 p 高達 0.872，抽 8 人幾乎必然有超過 2 人近視。 三、以常態分配近似 P(X=880)：n=1000，np=872，np(1-p)=111.616，標準差為 10.5649。以連續校正計算 P(879.5<Y<880.5)，z1=(879.5-872)/10.5649=0.7094，z2=(880.5-872)/10.5649=0.8046，查表 Φ(0.8046)=0.7895、Φ(0.7094)=0.7610，相減得 0.0285。若不採連續校正，z=(880-872)/10.5649=0.7572，機率約 0.0283，兩者差異不大。 四、Y 的機率分配函數：Y 表抽到第 10 位近視者時所抽取的總人數，屬負二項分配（negative binomial distribution），記為 NB(10, 0.872)，其機率函數為 P(Y=y)=C(y-1,9)(0.872)^10(0.128)^(y-10)，y=10,11,12,…，其餘為 0。期望值 E(Y)=r/p=10/0.872=11.468，即平均約抽 11.47 人可得到 10 位近視者。 五、近似條件與限制：本題 np=872、n(1-p)=128 均遠大於 5，常態近似妥適；惟題目所求為單點機率，務必使用連續校正，否則易產生偏差。另二項分配在 p 接近 1 時呈左偏，若樣本數不足，宜改以二項分配精算或考慮以卜瓦松近似。
下表是全國姓名統計前五大姓氏（及其他）的全國占比，及從臺北市
隨機抽取2694 人，其姓氏之分布情形。
姓氏
全國比例（%）
臺北市（人）
陳
11.21
林
8.33
黃
6.00
張
5.30
李
5.13
其他
64.03
總計
100.00
試問：
建構臺北市姓氏為陳者的母體比例之99%區間估計。（8 分）
在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市姓氏為黃者的母體比例是否小於
全國姓氏為黃者的比例。（10 分）
在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市各姓氏的比例是否與全國各姓氏
的比例一致。（12 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料與符號說明：樣本數 n=2694，姓氏分為陳、林、黃、張、李、其他共 6 類，設第 i 類的樣本比例為 p̂_i=O_i/2694，全國比例為 p_i0。惟題目表格「臺北市（人）」欄位並未提供各姓氏的實際人數，僅列全國比例，故以下列出公式、計算步驟、所需假設與判定規則；題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生須於補齊 O_i 後代入。 二、99% 區間估計：陳姓母體比例 p 的點估計為 p̂=x/2694，標準誤 SE=√[p̂(1-p̂)/2694]，在 n 大且 np̂、n(1-p̂) 均大於 5 下採常態近似，z_(0.005)=2.5758，信賴區間為 p̂±2.5758×SE。若 p̂ 接近全國比例 0.1121，則 SE 約 0.0061、半寬約 0.0157，區間約為 (0.096, 0.128)；此數值僅供示意，正式作答應以實際抽得人數計算。 三、黃姓比例之左尾檢定：設 H0: p=0.06，H1: p<0.06，α=0.05。檢定統計量 z=(p̂-0.06)/√(0.06×0.94/2694)，分母 SE0=√(0.0564/2694)=0.004575。棄卻域為 z<-1.645，等價於 p̂<0.06-1.645×0.004575=0.0525。若樣本比例低於 0.0525（或 z 小於 -1.645），則拒絕 H0，可宣稱臺北市黃姓比例顯著小於全國的 6%。 四、各姓氏比例是否一致的檢定：採卡方適合度檢定（chi-square goodness-of-fit test），H0: 臺北市各姓氏比例與全國一致，H1: 至少一類不同。期望次數 E_i=2694×p_i0，六類分別約為 302.0、224.4、161.6、142.8、138.2、1725.0，合計 2694。統計量 χ²=Σ(O_i-E_i)²/E_i，自由度為 6-1=5，α=0.05 的臨界值為 11.070，χ²>11.070 即拒絕 H0。 五、限制與後續建議：卡方檢定要求樣本為簡單隨機抽樣、各類期望次數均不小於 5（本題均滿足），且類別互斥且周延。若拒絕 H0，可計算標準化殘差 (O_i-E_i)/√E_i 找出主要差異來源；同時對多個比例重複檢定時，宜注意多重比較造成的型一誤差膨脹，必要時採 Bonferroni 調整。
某縣政府想評估四種流程（A、B、C、D 表示之）辦理某一業務的效
率，在申請該項業務的民眾中，各隨機抽取6 位民眾至每一種流程，
觀測其完成程序所需的時間，彙整於下表：
辦理流程
程序完成所需時間（分）
平均
標準差
A
132.0
21.10
B
141.5
19.89
C
149.0
6.22
D
151.5
7.14
在顯著水準為0.05 下，檢定各辦理流程完成程序的平均所需時間是
否相等。（15 分）
詳細說明進行 之分析所需的假設。（5 分）
卡方分配表
Table of the Chi-square Distribution
標準常態分配表
F 分配機率表
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模式設定與假設檢定：採單因子變異數分析（one-way ANOVA），因子為辦理流程（k=4 組），每組樣本數 n=6，總樣本數 N=24。虛無假設 H0: μ_A=μ_B=μ_C=μ_D，對立假設 H1: 至少有一組平均完成時間與其他組不同。檢定統計量 F=MSTR/MSE，服從自由度 (3, 20) 的 F 分配。 二、組間變異計算：總平均為 (132.0+141.5+149.0+151.5)/4=143.5。SSTR=Σn(ȳ_i-ȳ..)²=6[(132.0-143.5)²+(141.5-143.5)²+(149.0-143.5)²+(151.5-143.5)²]=6(132.25+4+30.25+64)=6×230.5=1383，MSTR=1383/3=461。 三、組內變異與 F 值：SSE=Σ(n_i-1)s_i²=5[(21.10)²+(19.89)²+(6.22)²+(7.14)²]=5(445.21+395.6121+38.6884+50.9796)=4652.4505，MSE=4652.4505/20=232.6225。故 F=461/232.6225=1.9817。ANOVA 表可整理為：組間 SS=1383、df=3、MS=461；組內 SS=4652.45、df=20、MS=232.62；合計 SS=6035.45、df=23。 四、判定與結論：查 F 分配表，F(0.05;3,20)=3.0984，因 1.9817<3.0984，故不拒絕 H0，在 α=0.05 下無充分證據顯示四種流程的平均完成時間有顯著差異，p 值約 0.15。惟 C、D 兩組平均時間較長，實務上仍可觀察其差距是否具實質意義，並報告效果量 η²=1383/6035.45≈0.229。 五、分析所需假設之說明：（1）獨立性：24 位民眾為隨機分派且彼此獨立；（2）常態性：各流程的完成時間母體須為常態分配，樣本小時尤須注意，可用 Shapiro-Wilk 檢定或 Q-Q 圖檢查；（3）變異數同質性：各組母體變異數相等，可用 Levene 或 Bartlett 檢定；（4）模式為固定效應、無嚴重離群值。本題 A、B 組標準差約 20 分鐘，遠大於 C、D 組的 6 至 7 分鐘，同質性假設可疑，建議改採 Welch ANOVA 或無母數的 Kruskal-Wallis 檢定作為穩健性分析。