民國114年 地方三等 農業行政 統計學
第3題
下表是全國姓名統計前五大姓氏（及其他）的全國占比，及從臺北市 隨機抽取2694 人，其姓氏之分布情形。 姓氏 全國比例（%） 臺北市（人） 陳 11.21 林…
題目
下表是全國姓名統計前五大姓氏（及其他）的全國占比，及從臺北市 隨機抽取2694 人，其姓氏之分布情形。 姓氏 全國比例（%） 臺北市（人） 陳 11.21 林 8.33 黃 6.00 張 5.30 李 5.13 其他 64.03 總計 100.00 試問： 建構臺北市姓氏為陳者的母體比例之99%區間估計。（8 分） 在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市姓氏為黃者的母體比例是否小於 全國姓氏為黃者的比例。（10 分） 在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市各姓氏的比例是否與全國各姓氏 的比例一致。（12 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、資料與符號說明：樣本數 n=2694，姓氏分為陳、林、黃、張、李、其他共 6 類，設第 i 類的樣本比例為 p̂_i=O_i/2694，全國比例為 p_i0。惟題目表格「臺北市（人）」欄位並未提供各姓氏的實際人數，僅列全國比例，故以下列出公式、計算步驟、所需假設與判定規則；題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生須於補齊 O_i 後代入。
- 二、99% 區間估計：陳姓母體比例 p 的點估計為 p̂=x/2694，標準誤 SE=√[p̂(1-p̂)/2694]，在 n 大且 np̂、n(1-p̂) 均大於 5 下採常態近似，z_(0.005)=2.5758，信賴區間為 p̂±2.5758×SE。若 p̂ 接近全國比例 0.1121，則 SE 約 0.0061、半寬約 0.0157，區間約為 (0.096, 0.128)；此數值僅供示意，正式作答應以實際抽得人數計算。
- 三、黃姓比例之左尾檢定：設 H0: p=0.06，H1: p<0.06，α=0.05。檢定統計量 z=(p̂-0.06)/√(0.06×0.94/2694)，分母 SE0=√(0.0564/2694)=0.004575。棄卻域為 z<-1.645，等價於 p̂<0.06-1.645×0.004575=0.0525。若樣本比例低於 0.0525（或 z 小於 -1.645），則拒絕 H0，可宣稱臺北市黃姓比例顯著小於全國的 6%。
- 四、各姓氏比例是否一致的檢定：採卡方適合度檢定（chi-square goodness-of-fit test），H0: 臺北市各姓氏比例與全國一致，H1: 至少一類不同。期望次數 E_i=2694×p_i0，六類分別約為 302.0、224.4、161.6、142.8、138.2、1725.0，合計 2694。統計量 χ²=Σ(O_i-E_i)²/E_i，自由度為 6-1=5，α=0.05 的臨界值為 11.070，χ²>11.070 即拒絕 H0。
- 五、限制與後續建議：卡方檢定要求樣本為簡單隨機抽樣、各類期望次數均不小於 5（本題均滿足），且類別互斥且周延。若拒絕 H0，可計算標準化殘差 (O_i-E_i)/√E_i 找出主要差異來源；同時對多個比例重複檢定時，宜注意多重比較造成的型一誤差膨脹，必要時採 Bonferroni 調整。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。