民國112年 地方三等 土木工程 結構學
第2題
二跨連續梁結構如圖，左右側跨距均為l，其斷面撓曲剛性（flexural rigidity）分別為EI 與2EI。其左支承為鉸接，右支承為滾接，而中央支 承為線彈…
題目
二跨連續梁結構如圖，左右側跨距均為l，其斷面撓曲剛性（flexural rigidity）分別為EI 與2EI。其左支承為鉸接，右支承為滾接，而中央支 承為線彈性支承，其勁度為k，且݇= ସாூ య。今假設施工時BD 彈簧的長 度比設計值少了∆，而強迫拉伸後固定於梁上的B 點以及基礎的D 點之 間。梁元件僅考慮撓曲變形，請應用最小功法（method of least work）或 單位力法（unit-load method）求解BD 彈簧內力並以合適的方法求B 點 向下位移量。未依指示方法求解者不予計分。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、力學模型與符號約定：A 為鉸接、C 為滾接，B 為勁度 k＝4EI/l³ 之線彈性彈簧支承，AB 段撓曲剛性 EI、BC 段 2EI，跨度均為 l。彈簧較設計長度短 Δ，強迫拉伸後固定於 B、D 之間，故彈簧受拉力 P，伸長量 e＝Δ－δ_B（δ_B 為 B 點向下位移），P＝k(Δ－δ_B)，此拉力以向下集中力作用於梁之 B 點。
- 二、釋放贅力與單位力法（unit-load method）：將 B 點彈簧支承釋放，以向下集中力 P 代替，形成 A–C 簡支梁（總跨 2l，左半 EI、右半 2EI）。於 B 點施加單位向下力，得單位彎矩 m(x)＝x/2（0≤x≤l）、m(x)＝l－x/2（l≤x≤2l），實際彎矩 M(x)＝P·m(x)，故 B 點向下位移可由虛功積分求得。
- 三、柔度係數計算：δ_B＝∫M m/(EI)dx＝∫₀^l (P x²/4)/EI dx＋∫_l^{2l} P(l－x/2)²/(2EI)dx＝P l³/(12EI)＋P l³/(24EI)＝P l³/(8EI)，即柔度（flexibility）f＝l³/(8EI)。此步驟須注意右半跨剛性為 2EI，積分分母隨之加倍，切勿全段以 EI 計算。
- 四、相容方程式與求解：由 δ_B＝Δ－P/k 得 P l³/(8EI)＋P l³/(4EI)＝Δ，即 3P l³/(8EI)＝Δ，故彈簧內力 P＝8EIΔ/(3l³)（拉力）；代回得 B 點向下位移 δ_B＝f P＝Δ/3。若 Δ 為負（彈簧較長）則 P 變號為壓力、B 點向上位移。
- 五、最小功法（method of least work）驗證與討論：以 P 為贅力，總應變能 U＝∫M²/(2EI)dx＋P²/(2k)＝P²l³/(16EI)＋P²/(2k)，令 ∂U/∂P＝Δ 得 P l³/(8EI)＋P/k＝Δ，與相容方程式完全一致，證明兩法等效。彈簧勁度 k 越大，P 越接近 kΔ、δ_B 越小；若 k→∞ 則退化為剛性支承，δ_B→0。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。