民國112年 地方三等 水利工程 渠道水力學
第3題
一維渠流動量方程式可表示如下： ܵ= −߲ݖ ߲ݔ−߲ݕ ߲ݔ−ܸ ݃ ߲ܸ ߲ݔ−1 ݃ ߲ܸ ߲ݐ−ݍ（ܸ−ݑ） ݃ܣ 式中 ܵ=摩擦坡降、ݔ為渠流方…
題目
一維渠流動量方程式可表示如下： ܵ= −߲ݖ ߲ݔ−߲ݕ ߲ݔ−ܸ ݃ ߲ܸ ߲ݔ−1 ݃ ߲ܸ ߲ݐ−ݍ（ܸ−ݑ） ݃ܣ 式中 ܵ=摩擦坡降、ݔ為渠流方向、ݐ為時間、ݖ=底床高程、ݕ=水深、 ܣ=通水斷面積、ܸ=斷面平均流速、 ݍ=單位渠長側入流、ݑ為 ݍ 之 ݔ 方向速度分量、݃=重力加速度。今有一渠段長度800 m，上游邊界斷面 入流600 m3/s、通水面積290 m2、潤周180 m、水位113.25 m，下游邊 界斷面通水面積335 m2、潤周205 m、水位112.63 m，已知 ݍ= 0.1 m2/s、 ݑ= 0.55 m/s。試利用上述動量方程式估算此渠流之平均摩擦坡降，並求 此渠段之平均曼寧係數n。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、離散化與已知量：取渠段長 Δx=800 m 作有限差分，定常流 ∂V/∂t=0。上游 V1=600/290=2.07 m/s，下游 V2=600/335=1.79 m/s，平均 V̄=1.93 m/s；平均通水面積 Ā=312.5 m²，平均潤周 P̄=192.5 m，水力半徑 R̄=Ā/P̄≈1.62 m（上游 1.61 m、下游 1.63 m）。
- 二、水面坡降項：因水位 = z+y，故 −∂z/∂x−∂y/∂x=−∂(z+y)/∂x=−(112.63−113.25)/800=+0.62/800=+7.75×10⁻⁴，此即水面線坡度，為動量方程中最主要之驅動項。
- 三、流速變化項與側入流項：∂V/∂x=(1.79−2.07)/800=−3.47×10⁻⁴，故 −(V̄/g)(∂V/∂x)=−(1.93/9.81)(−3.47×10⁻⁴)=+6.83×10⁻⁵（流速沿程減小，慣性項提供正的坡降貢獻）；側入流項 −qL(V̄−u)/(gĀ)=−0.1×(1.93−0.55)/(9.81×312.5)=−4.50×10⁻⁵。
- 四、平均摩擦坡降：Sf=7.75×10⁻⁴+6.83×10⁻⁵−4.50×10⁻⁵=7.98×10⁻⁴，即 Sf≈0.0008（約 0.8‰）。此值亦可由總水頭損失校核：ΔH=0.62+(V1²−V2²)/2g=0.62+0.055=0.675 m，Sf=0.675/800=8.4×10⁻⁴，與動量式結果同數量級，差異來自側入流項。
- 五、平均曼寧係數：由曼寧式 V=(1/n)R^(2/3)Sf^(1/2)，反解得 n=R̄^(2/3)Sf^(1/2)/V̄=(1.62)^(2/3)×(7.98×10⁻⁴)^0.5/1.93=1.381×0.02825/1.93≈0.020。此 n 值偏大，反映本渠段斷面寬淺、R 僅約 1.6 m 而流速近 2 m/s 之粗糙特性。
- 六、限制與敏感度：題目僅給上游入流 600 m³/s，若依連續性 dQ/dx=qL 計入側入流，則下游 Q2=600+0.1×800=680 m³/s、V2=2.03 m/s，重算得 Sf≈7.4×10⁻⁴、n≈0.018，與前述相差約一成。故答題時應明確說明「假設 Q 沿程不變、側入流僅以動量項修正」，並註明 n 值對該假設敏感。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。