民國110年 地方三等 交通技術 統計學
第4題
蒐集某都市每天之交通事故次數，發現去年平均每天發生100 件交 通事故，標準差12 件。 若隨機抽取4 天之交通事故次數，試求此4 天之平均交通事故次 數高於1…
題目
蒐集某都市每天之交通事故次數，發現去年平均每天發生100 件交 通事故，標準差12 件。 若隨機抽取4 天之交通事故次數，試求此4 天之平均交通事故次 數高於112 件之機率。（8 分） 假設今年每天之交通事故次數服從常態分配，且標準差與去年相 同。為檢定今年之平均交通事故次數是否比去年高，甲生主張於今 年隨機抽取36 天，若其平均次數高於102 件時，就認為今年事故 次數比去年高。試寫出虛無假設與對立假設，並計算甲生檢定方法 對應之型I 誤差。（8 分） 承 。若由36 天資料得出樣本和為 ix =3,672，樣本平方和為 ix =379,044，試求其今年交通事故平均數 之99%信賴區間。 （9 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、抽樣分配與第一小題：設每日事故次數為 X，母體平均 μ=100、標準差 σ=12。由中央極限定理（central limit theorem, CLT），X̄ 近似 N(μ, σ²/n)。n=4 時標準誤為 12/2=6，故 P(X̄>112)=P(Z>(112−100)/6)=P(Z>2)=0.0228。若母體常態，此為精確值，否則為近似值。
- 二、假設設定與型 I 誤差：甲生採右尾檢定，H0: μ≤100 對 H1: μ>100，拒絕域為 X̄>102。型 I 誤差 α=P(拒絕H0|H0為真)，於邊界 μ=100 計算：α=P(X̄>102|μ=100)=P(Z>(102−100)/(12/6))=P(Z>1)=0.1587，約 15.87%。此值遠高於慣用 5%，顯示檢定偏寬鬆。
- 三、信賴區間之計算步驟：n=36，x̄=3672/36=102；由平方和得 SS=Σx²−(Σx)²/n=379044−3672²/36=379044−374544=4500，故 s²=4500/35=128.571、s=11.34、標準誤 s/√36=1.890。採 t 分配，自由度 35，t_{0.005,35}=2.724。
- 四、區間結果與判讀：99% 信賴區間為 102±2.724×1.890=102±5.15，即 (96.85, 107.15)。因區間涵蓋 100，在 α=1% 下尚不能認定今年平均高於去年。若改以大樣本 z_{0.005}=2.576 計算，得 (97.13, 106.87)，結論一致，可作為交叉驗證。
- 五、檢討與建議：型 I 誤差 15.87% 過高，宜提高臨界值（例如改為 100+1.645×2=103.29）以將 α 控制於 5%；或增加樣本數，使 α 與型 II 誤差 β 同時下降。另應注意 σ 已知與否，決定採 z 或 t 分配。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。