民國110年 地方四等 統計 統計學概要
第2題
已知ܺଵ, … , ܺସ為期望值ߤ、變異數σଶ的隨機變數。令ܺത= （ܺଵ+ ܺଶ+ ܺଷ+ ܺସ）/4。 試求 ( 1.5 ) P X
題目
已知ܺଵ, … , ܺସ為期望值ߤ、變異數σଶ的隨機變數。令ܺത= （ܺଵ+ ܺଶ+ ܺଷ+ ܺସ）/4。 試求 ( 1.5 ) P X 的最小值。（5 分） 試求( 1.5 ) P X 的最小值。（5 分） 若ܺଵ, … , ܺସ服從常態分配，試求 ( 1.5 ) P X 。（5 分） 同 ，試求( 1.5 ) P X 。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、基本設定與必要假設：設 X₁,…,X₄ 相互獨立（independent），且 E(Xᵢ)=μ、Var(Xᵢ)=σ²，則 X̄=(X₁+…+X₄)/4 滿足 E(X̄)=μ、Var(X̄)=σ²/4，標準誤 se(X̄)=σ/2。若僅假設兩兩不相關（uncorrelated），變異數結論不變；若相關結構未知，則無法計算，須明確列為假設。
- 二、柴比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）之應用：對任意 k>0，P(|X̄−μ|≥k·σ/2)≤1/k²。取 1.5σ 相當於 k=1.5σ÷(σ/2)=3，故 P(|X̄−μ|≥1.5σ)≤1/9≈0.1111，此為該機率的上界（最大值）；取其補集得 P(|X̄−μ|≤1.5σ)≥1−1/9=8/9≈0.8889，即所求的最小值。
- 三、常態假設下之計算：若 X₁,…,X₄ 服從常態分配（normal distribution），則 X̄~N(μ, σ²/4)，標準化 Z=(X̄−μ)/(σ/2)~N(0,1)。故 P(|X̄−μ|≤1.5σ)=P(|Z|≤3)=2Φ(3)−1=2×0.99865−1=0.9973，即約 99.73%。
- 四、比較與答題要領：常態下之 0.9973 遠大於無分配假設之 8/9，顯示柴比雪夫不等式屬保守的無母數（distribution-free）下界，適用於任何分配；差距來自未使用分配資訊。作答時應寫出所用不等式名稱、獨立性假設，並註明「≥」與「≤」兩個方向分別對應上界與下界。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。