民國110年 地方四等 統計 統計學概要
第3題
某單位接受客戶委託進行民意調查以了解某政策之支持率；假設一份有 效樣本之成本為100 元。 若客戶要求抽樣誤差在正負2 個百分點內，且信心水準需達95%，則 調…
題目
某單位接受客戶委託進行民意調查以了解某政策之支持率；假設一份有 效樣本之成本為100 元。 若客戶要求抽樣誤差在正負2 個百分點內，且信心水準需達95%，則 調查所需成本為何？（10 分） 若客戶要求抽樣誤差在正負2 個百分點內，但願意支付之經費為 160,000 元（即最多1,600 份有效問卷）。試問在此限制下之信心水準 為多少？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、公式與參數設定：比例 p 之抽樣誤差（margin of error）為 E=z_{α/2}·√(p(1−p)/n)。在無前導調查資訊時取 p=0.5，使 p(1−p)=0.25 達最大（最保守），得 n=(z_{α/2}/(2E))²。95% 信心水準下 z_{0.025}=1.96，E=0.02。
- 二、所需樣本數與成本：n=(1.96/0.04)²×0.25=(49)²×0.25=2401×0.25=600.25，無條件進位取 601 份（少於 601 份無法保證誤差在 ±2 個百分點內）。成本=601×100=60,100 元。若以 z=2 近似，則 n=625、成本 62,500 元，作答宜註明所用 z 值。
- 三、經費限制下之信心水準：n=1,600、E=0.02，反解 z=E/√(0.25/1600)=0.02÷(0.5/40)=0.02/0.0125=1.6。信心水準=2Φ(1.6)−1=2×0.9452−1=0.8904，約 89.04%（約 89%）。
- 四、討論與限制：1,600 份僅能提供約 89% 信心，未達 95%；反之，達成 ±2% 且 95% 信心只需 601 份、成本 60,100 元，遠低於 160,000 元經費，剩餘預算可再擴大樣本以縮小誤差。另提醒：若母體為有限母體，可乘有限母體校正（finite population correction）√((N−n)/(N−1))，所需成本可再降低。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。