民國111年 地方四等 統計 統計學概要
第3題
假設兩隨機變數X 和Y，其聯合質量機率函數如下： , , (X , Y ) 1,2,4 1,2 x y P x y x y 。 計算隨機變數X 和Y 的各自邊際…
題目
假設兩隨機變數X 和Y，其聯合質量機率函數如下： , , (X , Y ) 1,2,4 1,2 x y P x y x y 。 計算隨機變數X 和Y 的各自邊際質量機率函數。（10 分） 隨機變數X 和Y 是否獨立？驗證你的答案。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、聯合機率質量函數（joint pmf）之正規化：P(X=x,Y=y)=xy/21，x=1,2,4、y=1,2。ΣΣxy=(1+2+4)(1+2)=7×3=21，故總機率和為21/21=1，各格機率非負，函數合法。
- 二、X之邊際機率質量函數（marginal pmf）：對y加總，P(X=x)=Σ_y xy/21=x(1+2)/21=x/7。故P(X=1)=1/7、P(X=2)=2/7、P(X=4)=4/7，合計為1。
- 三、Y之邊際機率質量函數：對x加總，P(Y=y)=Σ_x xy/21=y(1+2+4)/21=y/3。故P(Y=1)=1/3、P(Y=2)=2/3，合計為1。邊際化即「消去另一變數」，將聯合機率投影至單一變數。
- 四、獨立性驗證：獨立（independence）之充要條件為對所有(x,y)皆滿足P(x,y)=P(x)P(y)。此處P(x)P(y)=(x/7)(y/3)=xy/21=P(x,y)，全部6個組合均成立，故X與Y獨立。
- 五、判讀技巧與提醒：若聯合機率可分解為「只含x的函數×只含y的函數」之乘積結構，且邊際機率皆為正，即獨立；反之只要有一格不成立即不獨立。本題各格比值固定，屬完全獨立之典型案例。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。