民國113年 地方四等 統計 統計學概要
第3題
為調查民眾對某政策的支持比例p，隨機抽取有效樣本1,600 人。未回 答支持者，視為不支持。 欲檢驗「虛無假說：支持某政策的比例不低於50%」，則樣本中不支持…
題目
為調查民眾對某政策的支持比例p，隨機抽取有效樣本1,600 人。未回 答支持者，視為不支持。 欲檢驗「虛無假說：支持某政策的比例不低於50%」，則樣本中不支持 該政策的人數至少要多少才能在α=0.05 之顯著水準下拒絕虛無假 說？（請先建立假說）（15 分） 在信心水準95%下，對p 之估計的誤差為正負多少%？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令 p 為真正支持比例，p̂ 為樣本支持比例。依題意檢定 H0：p≥0.5 對 H1：p<0.5；在 H0 邊界 p=0.5 下，檢定統計量 z=(p̂−0.5)/√(0.5×0.5/1600)，左尾拒絕域為 z<−1.645。
- 二、拒絕條件等價於 p̂<0.5−1.645×0.0125=0.4794375，即支持人數少於 767.1 人，故支持人數至多767人；不支持人數至少 1600−767=833人。以不支持比例 q=1−p 表示，q̂≥833/1600=0.520625 時拒絕 H0。
- 三、95% 信賴區間之最大抽樣誤差為 1.96√(0.5×0.5/1600)=1.96×0.0125=0.0245，即正負約2.45個百分點。若以樣本比例計算，誤差為1.96√(p̂(1−p̂)/1600)，其最大值亦為2.45%。
- 四、此解法採大樣本常態近似，要求隨機抽樣且樣本數足夠；題目將未回答者視為不支持，會使 p 的估計偏向不支持，解讀時應說明此定義。另可採連續性修正，依本題門檻仍為833人。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。