民國113年 地方四等 統計 統計學概要
第5題
隨機變數X、Y 之相關係數為ρ，期望值分別為μ x 及μ y，變異數分別為 x 及 y ，試問使X+Y 與X-Y 不相關（uncorrelated）的必要條件為…
題目
隨機變數X、Y 之相關係數為ρ，期望值分別為μ x 及μ y，變異數分別為 x 及 y ，試問使X+Y 與X-Y 不相關（uncorrelated）的必要條件為何？ （10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、不相關（uncorrelated）定義為共變異數為零。計算 Cov(X+Y,X−Y)=Cov(X,X)−Cov(X,Y)+Cov(Y,X)−Cov(Y,Y)=Var(X)−Var(Y)，其中交叉項因對稱而抵消。
- 二、因此使 X+Y 與 X−Y 不相關的必要條件為 Var(X)=Var(Y)，即 σx²=σy²；在變異數均為正且有限時，此條件也是充分條件。兩者的期望值 μx、μy 不會影響共變異數。
- 三、若僅知道相關係數 ρ 而不知道兩個變異數，不能僅由 ρ 判定；題目所給的 ρ 只是補充資訊。結論應寫成「變異數相等」而非「平均數相等」，且不相關不等於獨立。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。