民國114年 地方四等 統計 統計學概要
第2題
某城市消防局接到求救電話的頻率為平均每小時1.6 通。假設每小時的 來電數量服從卜瓦松（Poisson）機率分配。 請問該消防局兩通求救電話之間的平均間隔時間為…
題目
某城市消防局接到求救電話的頻率為平均每小時1.6 通。假設每小時的 來電數量服從卜瓦松（Poisson）機率分配。 請問該消防局兩通求救電話之間的平均間隔時間為多少分鐘？（5 分） 使用 小題得出的平均值，請寫出兩通求救電話間隔之時間（以分鐘 為單位）的機率密度函數。（5 分） 請問兩通求救電話之間的間隔時間多於5 分鐘，但少於20 分鐘的機 率是多少？（答案可用指數e 表示，不需展開計算出數值）（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、卜瓦松過程（Poisson process）的來電次數N(t)服從Poisson(λt)，λ=1.6通/小時。兩通電話的間隔時間T服從指數分配（exponential distribution），其平均數E(T)=1/λ=1/1.6小時=0.625小時，換算為0.625×60=37.5分鐘。
- 二、以分鐘為單位，率參數λ_m=1.6/60=0.026667=1/37.5。指數分配的機率密度函數為f(t)=λ_m e^{-λ_m t}=(1/37.5)e^{-t/37.5}，t>0；當t≤0時f(t)=0。
- 三、所求P(5<T<20)=∫_5^20 f(t)dt=[-e^{-λ_m t}]_5^20=e^{-5/37.5}-e^{-20/37.5}=e^{-2/15}-e^{-8/15}。此值約0.2885，題目允許以e表示，不必展開。
- 四、指數分配具無記憶性，P(T>s+t|T>s)=P(T>t)；且平均間隔為37.5分鐘，不可誤寫成1.6分鐘。若題目要求累積分布，亦可寫P(T≤t)=1-e^{-t/37.5}。
- 五、若以小時為單位，T的密度為f(t)=1.6e^{-1.6t}（t以小時計）；改以分鐘計時，因dt_h=dt_min/60，密度需乘上60，化簡後即得f(t)=(1/37.5)e^{-t/37.5}。單位換算是本題常見失分點。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。