民國114年 地方四等 統計 統計學概要考古題

民國114年 地方四等 統計 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

某國的衛生部門追蹤其國民擁有健康保險的情況。根據統計數據，該國 當年的未投保率如下：18 歲以下人口中有5.1%未投保，18～64 歲人口 中有12.4%未投保，65 歲及以上人口中有1.1%未投保。已知該國約有 22.8%的人口年齡在18 歲以下，61.4%的人口年齡在18～64 歲之間。 隨機選擇該國一人，其年齡在65 歲或以上的機率為何？（10 分） 在已知某人沒有健康保險的條件下，其年齡在65 歲或以上的機率為 何？（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、設A1、A2、A3分別代表18歲以下、18至64歲、65歲及以上，這三個事件互斥且涵蓋全部人口。已知P(A1)=0.228、P(A2)=0.614，故P(A3)=1-0.228-0.614=0.158，即隨機抽取一人，其年齡在65歲以上的機率為15.8%。
  • 二、令U表示未投保。題目給定的條件機率為P(U|A1)=0.051、P(U|A2)=0.124、P(U|A3)=0.011。依全機率公式，P(U)=0.051×0.228+0.124×0.614+0.011×0.158=0.011628+0.076136+0.001738=0.089502，全體未投保率約8.95%。
  • 三、所求為P(A3|U)。依貝氏定理，P(A3|U)=P(U|A3)P(A3)/P(U)=0.001738/0.089502≈0.01942，即約1.94%。分子是65歲以上且未投保的聯合機率，分母是全體未投保機率，兩者不可顛倒。
  • 四、結果顯示65歲以上人口雖占15.8%，但在未投保者中僅約1.94%屬於該族群，主要因其未投保率僅1.1%，遠低於18至64歲的12.4%。此為貝氏更新後的條件機率，並非該族群占總人口的比例。
  • 五、作答時應先建立年齡分割，再依序寫出全機率與貝氏公式，並保留小數四位；若以百分比表示，答案為15.8%與1.94%。此題應避免將P(A3)=0.158直接當成第二部分答案。

第2題

某城市消防局接到求救電話的頻率為平均每小時1.6 通。假設每小時的 來電數量服從卜瓦松（Poisson）機率分配。 請問該消防局兩通求救電話之間的平均間隔時間為多少分鐘？（5 分） 使用 小題得出的平均值，請寫出兩通求救電話間隔之時間（以分鐘 為單位）的機率密度函數。（5 分） 請問兩通求救電話之間的間隔時間多於5 分鐘，但少於20 分鐘的機 率是多少？（答案可用指數e 表示，不需展開計算出數值）（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、卜瓦松過程（Poisson process）的來電次數N(t)服從Poisson(λt)，λ=1.6通/小時。兩通電話的間隔時間T服從指數分配（exponential distribution），其平均數E(T)=1/λ=1/1.6小時=0.625小時，換算為0.625×60=37.5分鐘。
  • 二、以分鐘為單位，率參數λ_m=1.6/60=0.026667=1/37.5。指數分配的機率密度函數為f(t)=λ_m e^{-λ_m t}=(1/37.5)e^{-t/37.5}，t>0；當t≤0時f(t)=0。
  • 三、所求P(5<T<20)=∫_5^20 f(t)dt=[-e^{-λ_m t}]_5^20=e^{-5/37.5}-e^{-20/37.5}=e^{-2/15}-e^{-8/15}。此值約0.2885，題目允許以e表示，不必展開。
  • 四、指數分配具無記憶性，P(T>s+t|T>s)=P(T>t)；且平均間隔為37.5分鐘，不可誤寫成1.6分鐘。若題目要求累積分布，亦可寫P(T≤t)=1-e^{-t/37.5}。
  • 五、若以小時為單位，T的密度為f(t)=1.6e^{-1.6t}（t以小時計）；改以分鐘計時，因dt_h=dt_min/60，密度需乘上60，化簡後即得f(t)=(1/37.5)e^{-t/37.5}。單位換算是本題常見失分點。

第3題

某製造商生產豪華型與標準型兩種家用果汁機。以下表格為從零售通路 抽取的樣本中所獲得的銷售價格。（每小題10 分，共20 分） 零售通路編號 豪華型價格（美元） 標準型價格（美元） 該製造商建議的兩種型號零售價有10 美元的價差。請以0.05 的顯著 水準，檢定這兩種型號價格之間的母體平均差是否為10 美元。 請計算兩種型號平均價格之差的95%信賴區間。 t 分配的左尾機率： ( ) ( ) T t df P T t p ， 自由度 t 值 3.3649 2.5706 2.015 1.4759 0.9195 0.7267 0.5594 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 自由度 t 值 3.1427 2.4469 1.9432 1.4398 0.9057 0.7176 0.5534 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 自由度 t 值 2.998 2.3646 1.8946 1.4149 0.896 0.7111 0.5491 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、同一零售通路同時觀察豪華型與標準型價格，兩樣本成對，令d_i=豪華型價格-標準型價格，母體平均差為μ_d。檢定H0：μ_d=10，H1：μ_d≠10，顯著水準α=0.05。若誤用獨立樣本，將忽略通路間的配對效果。
  • 二、成對t檢定統計量為t=(d̄-10)/(s_d/√n)，df=n-1。若零售通路數n=6，df=5，雙尾臨界值為±t_{0.025,5}=±2.5706；當|t|>2.5706時拒絕H0。需先由各通路價格算出d_i、d̄與s_d。
  • 三、95%信賴區間為d̄±t_{0.025,n-1}×s_d/√n；n=6時為d̄±2.5706×s_d/√6。若區間包含10，則與H0不相矛盾；若不包含10，則拒絕H0。雙尾檢定與此區間在α=0.05下結論一致。
  • 四、題目所附價格表在目前題面中缺漏各通路數值，因此無法算出d̄、s_d、t值與區間端點，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生作答時應列出上述公式、假設與判定規則，不可自行捏造價格。
  • 五、若改用獨立樣本檢定，統計量為t=[(x̄1-x̄2)-10]/√(s_p²(1/n1+1/n2))，df=n1+n2-2，其中s_p²為混合變異數；信賴區間則以(x̄1-x̄2)±t×標準誤。惟本題配對設計應優先採用成對t。

第4題

一名氣象觀測員記錄了過去5 年來，每年5 月同一個5 日期間的每日最 高氣溫（單位：℉），數據如下： 55, 86, 94, 58, 55, 95, 55, 52, 69, 95, 90, 65, 87, 50, 56, 55, 57, 98, 58, 79, 92, 62, 59, 88, 65 該觀測員想檢定這些數據是否服從常態分配。他採用卡方適合度檢定， 並在常態分配的假設下，依據累積百分比（20%、40%、60%、80%）將 資料分為5 個組別，計算出的組界如下：第1 組：小於56.72；第2 組： 56.73～66.75；第3 組：66.76～75.25；第4 組：75.26～85.28；第5 組： 85.29 及以上。在α = 0.01 的顯著水準下，請根據計算結果，說明統計檢 定結論為何？（需寫出虛無假設及此檢定的自由度，需計算檢定統計量 及決定臨界值）（15 分） 卡方分布臨界值表（α = 0.01） 自由度（df） 臨界值 6.6349 9.2103 11.3449 13.2767 15.0863 16.8119 18.4753

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、虛無假設H0：母體資料服從常態分配；對立假設H1：母體資料不服從常態分配。五組依20%、40%、60%、80%累積百分比切分，若H0成立，各組期望次數E_i=25×0.2=5。
  • 二、依組界計數，觀察次數依序為O=(7,7,1,1,9)，合計25。卡方檢定統計量χ²=Σ(O_i-E_i)²/E_i=[(7-5)²+(7-5)²+(1-5)²+(1-5)²+(9-5)²]/5=(4+4+16+16+16)/5=11.2。
  • 三、自由度為df=k-1-m，k=5；因組界由樣本平均數與標準差估計而來，估計參數個數m=2，故df=5-1-2=2。α=0.01時，χ²_{0.01,2}=9.2103；若參數為事前已知，才用df=4與13.2767。
  • 四、因11.2>9.2103，拒絕H0，認為在1%顯著水準下資料不服從常態分配。以df=2計算，p值約e^{-11.2/2}=0.0037，小於0.01，結論一致；並可輔以常態機率圖說明偏離。
  • 五、卡方適合度檢定要求各組期望次數不宜過小，一般建議至少5；本題各組期望次數均為5，尚符合此原則。另觀察值須為獨立隨機樣本，分組須互斥且周延，否則卡方近似可能不佳。

第5題

六家小型租車公司的營運車輛數（千輛）與年營收（百萬美元）之間的 關係如下表： 公司名稱車輛數（千輛）年營收（百萬美元） 安順租車 11.5 節省租車 10.0 王牌租車 9.0 優選租車 5.5 三角租車 4.2 超值租車 3.3 令x 營運車輛數（千輛），y 年營收（百萬美元），估計的迴歸方程式 為ˆ 17.005 12.966 y x 。此模型的誤差平方和SSE 1043.03 。請回答下 列問題：（每小題10 分，共20 分） 計算判定係數並解釋此數值的意義。說明估計的迴歸方程式是否提供 良好的配適？ 樣本相關係數值為何？根據此係數，營運車輛數與年營收之間呈現強 相關還是弱相關？

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、由表中車輛數x計算，x̄=7.25，S_xx=Σ(x_i-x̄)²=56.655。已知斜率b1=12.966，故SSR=b1²S_xx=12.966²×56.655≈9524.68；SST=SSR+SSE=9524.68+1043.03=10567.71。
  • 二、判定係數R²=SSR/SST=9524.68/10567.71≈0.9013。其意義為：年營收的總變異中，約90.13%可由車輛數的線性迴歸解釋，其餘約9.87%由其他因素與隨機誤差解釋。
  • 三、R²接近1，就線性配適而言可稱良好；但樣本僅6家，殘差標準誤s_e=√(SSE/(n-2))=√(1043.03/4)≈16.15百萬美元，仍有相當大的絕對誤差，不宜過度宣稱預測精確。
  • 四、樣本相關係數r=sign(b1)√R²=+√0.9013≈0.9494，因斜率為正取正號。依一般判定，|r|>0.7屬強相關，故營運車輛數與年營收呈強烈正相關；但相關不等於因果，且小樣本推論應謹慎。
  • 五、R²與r的關係為R²=r²（簡單線性迴歸且含截距時），故r=±√R²，符號由斜率決定。本例斜率正，取r=+0.9494；若只給R²，不能判定正負相關，必須看斜率或散佈圖。