民國114年 地方四等 統計 統計學概要
第4題
一名氣象觀測員記錄了過去5 年來，每年5 月同一個5 日期間的每日最 高氣溫（單位：℉），數據如下： 55, 86, 94, 58, 55, 95, 55, 5…
題目
一名氣象觀測員記錄了過去5 年來，每年5 月同一個5 日期間的每日最 高氣溫（單位：℉），數據如下： 55, 86, 94, 58, 55, 95, 55, 52, 69, 95, 90, 65, 87, 50, 56, 55, 57, 98, 58, 79, 92, 62, 59, 88, 65 該觀測員想檢定這些數據是否服從常態分配。他採用卡方適合度檢定， 並在常態分配的假設下，依據累積百分比（20%、40%、60%、80%）將 資料分為5 個組別，計算出的組界如下：第1 組：小於56.72；第2 組： 56.73～66.75；第3 組：66.76～75.25；第4 組：75.26～85.28；第5 組： 85.29 及以上。在α = 0.01 的顯著水準下，請根據計算結果，說明統計檢 定結論為何？（需寫出虛無假設及此檢定的自由度，需計算檢定統計量 及決定臨界值）（15 分） 卡方分布臨界值表（α = 0.01） 自由度（df） 臨界值 6.6349 9.2103 11.3449 13.2767 15.0863 16.8119 18.4753
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、虛無假設H0：母體資料服從常態分配；對立假設H1：母體資料不服從常態分配。五組依20%、40%、60%、80%累積百分比切分，若H0成立，各組期望次數E_i=25×0.2=5。
- 二、依組界計數，觀察次數依序為O=(7,7,1,1,9)，合計25。卡方檢定統計量χ²=Σ(O_i-E_i)²/E_i=[(7-5)²+(7-5)²+(1-5)²+(1-5)²+(9-5)²]/5=(4+4+16+16+16)/5=11.2。
- 三、自由度為df=k-1-m，k=5；因組界由樣本平均數與標準差估計而來，估計參數個數m=2，故df=5-1-2=2。α=0.01時，χ²_{0.01,2}=9.2103；若參數為事前已知，才用df=4與13.2767。
- 四、因11.2>9.2103，拒絕H0，認為在1%顯著水準下資料不服從常態分配。以df=2計算，p值約e^{-11.2/2}=0.0037，小於0.01，結論一致；並可輔以常態機率圖說明偏離。
- 五、卡方適合度檢定要求各組期望次數不宜過小，一般建議至少5；本題各組期望次數均為5，尚符合此原則。另觀察值須為獨立隨機樣本，分組須互斥且周延，否則卡方近似可能不佳。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。