民國114年 地方四等 土木工程 材料力學概要
第2題
如圖所示為某點平面應力狀態，求其最大正向應力 及最大同平面剪應 力 max 。（25 分）
題目
如圖所示為某點平面應力狀態，求其最大正向應力 及最大同平面剪應 力 max 。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、應力狀態與符號約定：依題給 σx=50 MPa、σy=10 MPa、τxy=40 MPa，其餘應力分量為零，屬平面應力狀態（plane stress）。採拉應力為正，剪應力以作用於正 x 面而指向正 y 方向者為正，角度自 x 軸逆時針量取。
- 二、主應力公式：σ1,2=(σx+σy)/2±√[((σx−σy)/2)²+τxy²]。平均應力 σavg=(50+10)/2=30 MPa；莫耳圓半徑 R=√(20²+40²)=√2000=44.72 MPa，此半徑亦為最大同平面剪應力。
- 三、最大正向應力：σmax=σavg+R=30+44.72=74.72 MPa（約 74.7 MPa，拉應力）；另一主應力 σmin=30−44.72=−14.72 MPa（壓應力）。主平面方位由 tan2θp=2τxy/(σx−σy)=80/40=2 得 θp=31.7° 與 121.7°，兩主平面互相垂直。
- 四、最大同平面剪應力：τmax=R=44.72 MPa（約 44.7 MPa），作用於與主平面成 45° 之面上（θs=θp−45°=−13.3°）；該面上之正向應力等於平均應力 30 MPa 而非零，此為考生常忽略之重點。
- 五、圖解與檢核：可繪莫耳圓，圓心 (30, 0)、半徑 44.72 MPa，與 σ 軸交於 74.72 MPa 與 −14.72 MPa，圓之最高點縱座標即 44.72 MPa。檢核：σ1+σ2=60 MPa=σx+σy，且兩主應力之乘積與不變量相符，即可確認計算無誤。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。