如圖二所示之行星齒輪系，環齒輪1 被固定，其齒數為60 齒，齒輪2 之 齒數為20 齒，已知行星臂3 做逆時針方向旋轉，轉速為10 rpm。 列式計算如圖二所示…

題目

如圖二所示之行星齒輪系，環齒輪1 被固定，其齒數為60 齒，齒輪2 之 齒數為20 齒，已知行星臂3 做逆時針方向旋轉，轉速為10 rpm。 列式計算如圖二所示之行星齒輪系的自由度。（10 分） 試求齒輪2 之轉速及轉向。（15 分） 圖二

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、自由度列式（10 分）：採 Kutzbach（Grübler）平面機構公式 F = 3(n − 1) − 2j1 − j2。圖二之環齒輪1 固定於機架，可併入機架計算，故 n = 3（機架含環齒輪1、行星齒輪2、行星臂3）；迴轉對（revolute pair）j1 = 2（臂與機架、齒輪2 與臂），齒輪1 與齒輪2 的內接嚙合為高對（higher pair）j2 = 1。
• 二、計算與意義：F = 3(3 − 1) − 2 × 2 − 1 × 1 = 6 − 4 − 1 = 1。自由度為 1，表示只要給定一個獨立輸入（行星臂3 的轉速），其餘構件的運動即完全確定；環齒輪固定，使原本二自由度的差動齒輪系降為單自由度。
• 三、轉速列式（15 分）：採威利斯方程式（Willis equation），以行星臂為參考座標做相對運動分析：(N2 − N3)/(N1 − N3) = (−1)^k ×（主動輪齒數乘積）/（從動輪齒數乘積）。齒輪1 與齒輪2 為內接嚙合，兩者迴轉方向相同，故取正號，比值 = Z1/Z2 = 60/20 = 3。
• 四、代入求解：環齒輪固定，N1 = 0；行星臂 N3 = +10 rpm（逆時針取正）：(N2 − 10)/(0 − 10) = 3 → N2 − 10 = −30 → N2 = −20 rpm。即齒輪2 的轉速為 20 rpm，負號表示其轉向與行星臂相反，故為順時針方向。
• 五、驗算與討論：以瞬心（instant center）法檢驗，設模數為 m，環齒輪節圓半徑 R1 = 60m/2 = 30m，齒輪2 半徑 r2 = 20m/2 = 10m，臂長 Rc = R1 − r2 = 20m；齒輪2 中心速度 V = ω3·Rc = 10 × 20m，又其與固定環齒輪的接觸點速度為零，故 ω2 = V/r2 = 200m/10m = 20 rpm，方向與臂相反，與威利斯式結果一致。

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