三種遺傳型態A、B、C 在某基因模式下，出現機率分別為 /6 /3

題目

三種遺傳型態A、B、C 在某基因模式下，出現機率分別為 /6 /3 、 、 (1 / 2) ，研究者收集120 位受測者，A、B、C 人數分別為10、25、85 人。 （每小題10 分，共20 分） 求 之最大概似估計。 請問在α 0.05 下，檢定該模式是否合適？

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、模式設定與概似函數：依題意，三種遺傳型態的機率為 p_A=θ/6、p_B=θ/3、p_C=1−θ/2，參數範圍 0<θ<2，三者和為 1。樣本數 n=120，觀測次數 (n_A,n_B,n_C)=(10,25,85)。概似函數 L(θ)∝(θ/6)^10(θ/3)^25(1−θ/2)^85。
• 二、最大概似估計（MLE）推導：取對數得 lnL=35lnθ+85ln(1−θ/2)+常數，對 θ 微分並令其為零：35/θ−85/(2−θ)=0，交叉相乘得 35(2−θ)=85θ，即 70=120θ，故 θ̂=7/12≈0.5833。二階導數為負，確認是極大值。代回可得 p̂_A=7/72≈0.0972、p̂_B=7/36≈0.1944、p̂_C=17/24≈0.7083。
• 三、適合度檢定的統計量：H0：資料符合該遺傳模式；H1：不符合。期望次數為 120p̂=(11.67,23.33,85.00)，均大於 5，符合卡方近似的適用條件。χ²=Σ(O−E)²/E=(10−11.67)²/11.67+(25−23.33)²/23.33+0=0.238+0.119+0.000=0.357。
• 四、自由度與判定：因 θ 由資料估計，自由度為 k−1−m=3−1−1=1。查表 χ²_0.05(1)=3.841，因 0.357<3.841，故不拒絕 H0，p 值約 0.55。結論：在 α=0.05 下，尚無充分證據顯示該基因模式不合適。作答時應強調「估計參數須扣自由度」與「期望次數不得過小」兩項關鍵。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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