民國112年 普通考試 統計 統計學概要
第3題
在簡單直線迴歸中，設自變數ܺ為廣告費用，應變數ܻ為銷售量，樣本 數n = 10。已知： ݔ ୀଵ = 140, ݕ ୀଵ = 1300, …
題目
在簡單直線迴歸中，設自變數ܺ為廣告費用，應變數ܻ為銷售量，樣本 數n = 10。已知： ݔ ୀଵ = 140, ݕ ୀଵ = 1300, ݔݕ ୀଵ = 21040, ݔ ଶ ୀଵ = 2528, ݕ ଶ ୀଵ = 184730 用最小平方法求迴歸直線。（10分） 求斜率ߚଵ之95%信賴區間。（10分） 求判定係數ܴଶ。（5分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、最小平方法求迴歸直線：n=10，x̄=140/10=14，ȳ=1300/10=130。離差平方和 Sxx=Σx²−(Σx)²/n=2528−1960=568；乘積和 Sxy=Σxy−(Σx)(Σy)/n=21040−18200=2840；Syy=184730−169000=15730。
- 二、參數估計：斜率 b1=Sxy/Sxx=2840/568=5.0，截距 b0=ȳ−b1x̄=130−5×14=60。迴歸直線為 ŷ=60+5x，解釋為廣告費用每增加 1 單位，銷售量平均增加 5 單位。
- 三、斜率 95% 信賴區間：SSE=Syy−b1Sxy=15730−5×2840=1530，MSE=SSE/(n−2)=1530/8=191.25，se(b1)=√(MSE/Sxx)=√(191.25/568)=0.5803。t0.025(8)=2.306，區間為 5±2.306×0.5803=5±1.338，即 (3.662, 6.338)。
- 四、判定係數：R²=Sxy²/(Sxx×Syy)=2840²/(568×15730)=8,065,600/8,934,640≈0.9027，亦可由 1−SSE/Syy=1−1530/15730 得同一結果。表示銷售量變異中約 90.27% 可由廣告費用解釋，配適良好；相關係數 r=√0.9027≈0.9501（因 b1>0 取正值）。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。