民國110年 普通考試 經建行政 統計學概要
第5題
有一位候選人在宣告參選之前，評估選民對他的初始支持率。不做任何 事前公開活動之前提下，若選民支持他的比例數p 大約0.15，他將投入 選戰。從隨機選取的n 個選…
題目
有一位候選人在宣告參選之前，評估選民對他的初始支持率。不做任何 事前公開活動之前提下，若選民支持他的比例數p 大約0.15，他將投入 選戰。從隨機選取的n 個選民的ㄧ項民調中，該候選人希望比例數p 的 估計值y/n 距離p 在0.03 之內。也就是說，決策乃基於形如y/n ± 0.03 的ㄧ個95%信賴區間，y 代表支持該候選人的選民人數： 在候選人對於p 的大小沒有任何概念下，如何決定所需樣本數大小， 以便達到所求之可靠度及準確度？（5 分） 假設由該選區隨機選取1,068 個選民進行訪談，得到y = 214 個選民的 支持，求p 的95%信賴區間。根據此樣本所提供的訊息，該候選人是 否決定投入選戰？（5 分） 比較 的最大誤差與0.03，說明為何會有如此差別？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、樣本數的决定（無先驗資訊）：在對 p 毫無概念時採最保守假設 p=0.5，使 p(1−p) 極大。令最大誤差 E=0.03、信賴水準 95%（z0.025=1.96），由 n=(z/E)²p(1−p)=(1.96/0.03)²×0.25=(65.33)²×0.25≈4268×0.25≈1067.1，無條件進位取 n=1068，與題目一致。
- 二、信賴區間計算：n=1068、y=214，p̂=214/1068≈0.2004。標準誤 √[p̂(1−p̂)/n]=√(0.2004×0.7996/1068)=√0.000150≈0.01225。95% 信賴區間為 0.2004±1.96×0.01225=0.2004±0.0240，即約 (0.176, 0.224)。
- 三、決策判斷：候選人設定「支持率約 0.15 才投入選戰」，而區間下限 0.176 已高於 0.15，整個區間落在 0.15 之上，故依此樣本可判定支持率高於 0.15，應決定投入選戰。若區間涵蓋 0.15 則不宜斷然投入。
- 四、最大誤差比較與原因：實際最大誤差約 0.024，小於規劃的 0.03。原因是樣本數公式採 p=0.5 的最保守值，此時 p(1−p)=0.25；實際 p̂≈0.20，p̂(1−p̂)≈0.16 較小，標準誤隨之縮小。此即「保守估計樣本數」的代價：實際精確度往往優於要求。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。