民國110年 普通考試 經建行政 統計學概要考古題

民國110年 普通考試 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 6 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

P(Z > ݖఈ) = ߙ; ݖ଴.଴ହ= 1.645; ݖ଴.଴ଶହ= 1.96; ݖ଴.ଶଵଵଽ= 0.8; ݖ଴.଴ହହଽ= 1.59; ݖ଴.଴ଶଷଷ= 1.99 P൫t > ݐఈ,௡൯= ߙ; ݐ଴.଴ଶହ,ଶଶ଴= 1.96 P(߯ଶ> ߯ఈ ଶ(݊)) = ߙ; ߯଴.଴ହ ଶ (10) = 18.307; ߯଴.଴ହ ଶ (4) = 9.488; ߯଴.଴ହ ଶ (6) = 12.592 P൫F > ܨఈ(݊ଵ, ݊ଶ)൯= ߙ; ܨ଴.଴ହ(2,27) = 3.35; ܨ଴.଴ଶହ(2,10) =5.46; ܨ଴.଴ହ(5,10) =3.33; ܨ଴.଴ହ(6,12) =3 已知隨機變數X 與Y 的二元機率分配如下： f (x, y) x y 0.2 0.5 0.3 計算X 與Y 的期望值與變異數。（8 分） 計算E(X+Y)與Var(X+Y)。（8 分） 計算X 與Y 的共變異數與相關係數，並判斷X 與Y 是正相關、負相 關或不相關。（9 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、題意與資料狀況：本題給定離散隨機變數 X 與 Y 的聯合機率函數（joint probability function）f(x,y)，作答第一步應先確認表格中各格機率均不小於 0，且全部機率合計 ΣxΣy f(x,y)=1。惟題幹轉錄後表格僅餘 0.2、0.5、0.3 等零星數字，無法還原完整格位，故以下列出通式與步驟；實際作答時應以原卷表格數值代入。
  • 二、邊際分配、期望值與變異數：先求邊際機率 f_X(x)=Σy f(x,y)、f_Y(y)=Σx f(x,y)，再算 E(X)=Σx x·f_X(x)、E(Y)=Σy y·f_Y(y)；變異數用 Var(X)=Σx x²f_X(x)−[E(X)]²，Var(Y) 同理。建議先做邊際表再計算，可避免重複運算與算術錯誤，並以 Var≥0 自我檢查。
  • 三、和之期望值與變異數：E(X+Y)=E(X)+E(Y)，此式不論 X、Y 是否獨立皆成立。Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)；僅在獨立時才可化簡為 Var(X)+Var(Y)。考生常誤刪共變異數項，是本科最典型的失分點。
  • 四、共變異數與相關係數：Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)，其中 E(XY)=ΣxΣy xy·f(x,y)；相關係數 ρ=Cov(X,Y)/(σX·σY)，值域為 −1 至 1。ρ>0 為正相關、ρ<0 為負相關、ρ=0 稱不相關（線性無關），但 ρ=0 不代表獨立。
  • 五、判定與結論：以共變異數符號與相關係數大小共同判定關聯方向與強弱，並以 |ρ|≤1、Var(X+Y)≥0 驗算。因本題聯合機率表數值缺漏，無法得出唯一數值；作答時應明確寫出「將表中各格機率代入上述公式」，不得自行捏造數字。

第2題

一間百貨公司分析它們最近的銷售情況，並且決定顧客購買商品的付款 方式與商品價格類別之間的關係，得到下表中的聯合機率： 現金 信用卡 簽帳金融卡 $20以下 .09 .03 .04 $20-$100 .05 .21 .18 $100以上 .03 .23 .14 以簽帳金融卡付消費款的比例為何？（5 分） 以信用卡支付之下，消費款超過$100 的機率為何？（5 分） 以信用卡或簽帳金融卡支付消費款的比例為何？（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、資料結構：本題為 3×3 聯合機率表，列為付款方式（現金、信用卡、簽帳金融卡 debit card），行為價格類別（20 美元以下、20 至 100 美元、100 美元以上）。全部九格合計 0.09+0.03+0.04+0.05+0.21+0.18+0.03+0.23+0.14=1.00，符合機率分配要求，可直接以列和、行和求邊際機率。
  • 二、以簽帳金融卡付款的比例：對簽帳金融卡該列求和，P(簽帳金融卡)=0.04+0.18+0.14=0.36，即 36%。此為邊際機率（marginal probability），做法是對不需要的變數「加總消去」。
  • 三、信用卡支付下消費超過 100 美元的機率：此為條件機率（conditional probability），P(>100|信用卡)=P(信用卡且>100)/P(信用卡)=0.23/(0.03+0.21+0.23)=0.23/0.47≈0.4894，約 48.94%。分母必須用信用卡的邊際機率 0.47，而非全部 1.00。
  • 四、以信用卡或簽帳金融卡支付的比例：兩事件互斥（同一筆消費只會有一種付款方式），故直接相加：P(信用卡)+P(簽帳金融卡)=0.47+0.36=0.83，即 83%。若兩事件可能同時發生，則須改用加法法則扣除交集。

第3題

某週刊曾報導廣告主與網際網路服務供應商及搜尋引擎簽訂合約，在網 站上刊登廣告，付費方式是根據點擊該項廣告的潛在顧客的數目而定。 不幸的是，點擊詐欺（為了增加廣告收入而點擊該項廣告）已然成為問 題。40%的廣告主宣稱，他們成為點擊詐欺的受害者。假定隨機抽選380 位廣告主，以了解點擊詐欺的狀況： 樣本比例與母體比例的差距在± 0.04 以內的機率是多少？（5 分） 樣本比例大於0.45 的機率是多少？（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、抽樣分配：設母體比例 p=0.40，樣本數 n=380，樣本比例 p̂=y/n。依中央極限定理（central limit theorem），當 np 與 n(1−p) 均大於 5 時，p̂ 近似常態，平均數為 p，標準誤 σp̂=√[p(1−p)/n]=√(0.4×0.6/380)=√0.0006316≈0.02513。
  • 二、差距在 ±0.04 內的機率：標準化後 Z=(p̂−p)/σp̂，所求為 P(|p̂−0.4|≤0.04)=P(|Z|≤0.04/0.02513)=P(|Z|≤1.592)。查表得 Φ(1.59)≈0.9441，故機率約為 2×0.4441=0.8882，即約 88.8%。
  • 三、樣本比例大於 0.45 的機率：Z=(0.45−0.40)/0.02513≈1.99，所求為 P(Z>1.99)=1−Φ(1.99)。題目已給 z0.0233=1.99，故機率約為 0.0233，即約 2.33%，屬右尾的小機率事件。
  • 四、作答提醒：本題須寫出標準誤的計算式與查表值，並註明採用常態近似；若以小樣本或母體比例未知處理，將無法使用題目提供的 z 值。結論宜以百分比呈現並保留小數兩位。

第4題

某醫學期刊中描述一項研究，想要判斷運動是否可以延長心臟麻痺病患 的生命。招募801 位心臟麻痺病患的樣本；其中395 位接受運動的訓練， 而另外的406 位則無。在接受運動的群組當中有88 位病患未能延長生 命，而在無運動群組中有105 位病患未能延長生命。 在5%的顯著水準下，研究人員是否可以推論運動訓練能夠延長生命？ 寫下假設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢 定結果。（15分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、假設設定：令 p1 為接受運動訓練組的未延長生命比例，p2 為無運動組比例。研究目的在檢定運動是否「延長」生命，故對立假設為單尾：H0：p1−p2≥0（運動無助益）對 H1：p1−p2<0（運動降低未延長生命比例）。顯著水準 α=0.05，左尾拒絕域為 Z<−1.645。
  • 二、樣本比例：p̂1=88/395≈0.2228，p̂2=105/406≈0.2586，差距為 −0.0358。合併比例（pooled proportion）p̄=(88+105)/(395+406)=193/801≈0.2409，用以估計共同母體比例。
  • 三、檢定統計量：Z=(p̂1−p̂2)/√[p̄(1−p̄)(1/n1+1/n2)]，分母 =√[0.2409×0.7591×(1/395+1/406)]=√[0.1829×0.004995]≈0.0302。故 Z=(−0.0358)/0.0302≈−1.19。
  • 四、判定與結論：Z=−1.19 未落入拒絕域（−1.19>−1.645），p 值約 0.117>0.05，故不拒絕 H0。在 5% 顯著水準下，資料不足以推論運動訓練能延長心臟麻痺病患的生命；僅能說未發現顯著差異，不可逕稱運動無效。
  • 五、補充說明：此為兩獨立母體比例之檢定，須確認各組成功與失敗次數均足夠（均大於 5）方可採常態近似；另可指出研究為觀察性資料，即使顯著亦不宜直接宣稱因果。

第5題

有一位候選人在宣告參選之前，評估選民對他的初始支持率。不做任何 事前公開活動之前提下，若選民支持他的比例數p 大約0.15，他將投入 選戰。從隨機選取的n 個選民的ㄧ項民調中，該候選人希望比例數p 的 估計值y/n 距離p 在0.03 之內。也就是說，決策乃基於形如y/n ± 0.03 的ㄧ個95%信賴區間，y 代表支持該候選人的選民人數： 在候選人對於p 的大小沒有任何概念下，如何決定所需樣本數大小， 以便達到所求之可靠度及準確度？（5 分） 假設由該選區隨機選取1,068 個選民進行訪談，得到y = 214 個選民的 支持，求p 的95%信賴區間。根據此樣本所提供的訊息，該候選人是 否決定投入選戰？（5 分） 比較 的最大誤差與0.03，說明為何會有如此差別？（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、樣本數的决定（無先驗資訊）：在對 p 毫無概念時採最保守假設 p=0.5，使 p(1−p) 極大。令最大誤差 E=0.03、信賴水準 95%（z0.025=1.96），由 n=(z/E)²p(1−p)=(1.96/0.03)²×0.25=(65.33)²×0.25≈4268×0.25≈1067.1，無條件進位取 n=1068，與題目一致。
  • 二、信賴區間計算：n=1068、y=214，p̂=214/1068≈0.2004。標準誤 √[p̂(1−p̂)/n]=√(0.2004×0.7996/1068)=√0.000150≈0.01225。95% 信賴區間為 0.2004±1.96×0.01225=0.2004±0.0240，即約 (0.176, 0.224)。
  • 三、決策判斷：候選人設定「支持率約 0.15 才投入選戰」，而區間下限 0.176 已高於 0.15，整個區間落在 0.15 之上，故依此樣本可判定支持率高於 0.15，應決定投入選戰。若區間涵蓋 0.15 則不宜斷然投入。
  • 四、最大誤差比較與原因：實際最大誤差約 0.024，小於規劃的 0.03。原因是樣本數公式採 p=0.5 的最保守值，此時 p(1−p)=0.25；實際 p̂≈0.20，p̂(1−p̂)≈0.16 較小，標準誤隨之縮小。此即「保守估計樣本數」的代價：實際精確度往往優於要求。

第6題

統計課中一位成績接近底部的學生甲，決定投入一定的練習時數以改善 期末的成績。但是甲並不想做過多的練習，因為甲企圖以最少的工作量 達到最終畢業的目的。甲註冊一門統計課，離期末考僅有3 個星期，並 且最後學期總成績是以下列方式決定： 學期總成績＝20%（作業）＋30%（期中考）＋50%（期末考） 為了決定在剩餘的3 星期內要付出多少努力，甲必須根據作業分數（有 20 分）與期中考分數（有30 分）去預測期末考成績。甲的這些分數分 別是12/20 與14/30。 甲蒐集去年選修這門統計課30 位學生的期末考分數、作業分數 （assignment），與期中考分數（midterm）。 利用以下30 位學生的資料所做的迴歸分析結果回答問題： 決定估計的迴歸方程式並檢定模型的有效性（5%的顯著水準）。（4 分） 估計的標準誤為何？如何詮釋這個統計量？（4 分） 判定係數為何？這個統計量提供什麼訊息？（4 分） 詮釋估計的迴歸方程式中每一個係數。（4 分） 在此模型中，檢定作業分數之係數是否為零（5%的顯著水準）？（4 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、模型設定：以期末考分數（final）為依變數 Y，作業分數（assignment）X1 與期中考分數（midterm）X2 為自變數，複迴歸模型為 Y=β0+β1X1+β2X2+ε。估計式 Ŷ=b0+b1X1+b2X2。惟題幹所附 30 位學生的迴歸報表（係數、標準誤、F 值、R²）在轉錄中缺漏，故僅能說明判讀方法，無法得出唯一數值。
  • 二、模型有效性檢定：H0：β1=β2=0 對 H1：至少一係數不為零。檢定統計量 F=(SSR/k)/[SSE/(n−k−1)]，此處 k=2、n=30，分母自由度為 27。α=0.05 時拒絕域為 F>F0.05(2,27)=3.35；若報表 F 值大於 3.35 則拒絕 H0，判定模型整體有效。
  • 三、估計標準誤與判定係數：估計標準誤 se=√[SSE/(n−k−1)]，代表觀測值與迴歸平面間的平均垂直離散程度，單位與期末考分數相同，愈小表示配適愈好。判定係數 R²=SSR/SST=1−SSE/SST，表示作業與期中考分數共同解釋期末考分數變異的百分比；調整後 R² 則對自變數個數加以懲罰。
  • 四、係數詮釋：b0 為兩項成績均為零時的預估期末考分數，通常不具實際意義；b1 表示期中考分數固定下，作業分數每增加 1 分，期末考分數平均變動 b1 分；b2 表示作業分數固定下，期中考每增加 1 分，期末考平均變動 b2 分。詮釋時務必強調「其他變數不變」（ceteris paribus）。
  • 五、個別係數檢定：H0：β1=0 對 H1：β1≠0，t=b1/se(b1)，自由度 27，α=0.05 的臨界值為 t0.025,27≈2.052（雙尾），|t|>2.052 則拒絕 H0，表示作業分數在控制期中考後仍有顯著解釋力。因報表數據缺漏，無法得出唯一數值；考生應列出公式、自由度、拒絕域與判定規則，並據報表數值完成結論。