民國111年 普通考試 經建行政 統計學概要
第2題
假設ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ為從標準常態機率分配隨機抽取之樣本，今從剛畢業之 社會新鮮人隨機抽取100 人，記錄其首份工作之月薪（萬元），得 ܻ…
題目
假設ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ為從標準常態機率分配隨機抽取之樣本，今從剛畢業之 社會新鮮人隨機抽取100 人，記錄其首份工作之月薪（萬元），得 ܻଵ, ܻଶ, . . . , ܻଵ。現將此二組數據分別由小至大排序，得ܺ(ଵ) < ܺ(ଶ) <. . . < ܺ(ଵ)與ܻ(ଵ) < ܻ(ଶ) <. . . < ܻ(ଵ)。若（ܺ(), ܻ()）之分散圖，約為一條截距 為4、斜率為0.5 之直線。試問社會新鮮人首份工作之月薪服從何種機率分 配？又，月薪超過5 萬元之比例為何？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、由 Q-Q 圖（quantile-quantile plot）推論分配：將標準常態樣本之順序統計量 X₍ᵢ₎ 置於橫軸、月薪順序統計量 Y₍ᵢ₎ 置於縱軸，若散點近似直線，表示 Y 的順序統計量與標準常態分位數呈線性關係。常態分配的 Q-Q 圖理論關係為 Y₍ᵢ₎ ≈ μ＋σX₍ᵢ₎，故直線的截距即母體平均數 μ、斜率即母體標準差 σ。
- 二、帶入題目數據：直線截距為 4、斜率為 0.5，故 μ＝4（萬元）、σ＝0.5（萬元）。因此社會新鮮人首份工作月薪 Y 服從常態分配（normal distribution），記為 Y～N(4, 0.5²)，即平均月薪 4 萬元、標準差 0.5 萬元、變異數 0.25。此為位置—尺度族（location-scale family）的典型結果。
- 三、月薪超過 5 萬元之比例：標準化得 Z＝(5－4)/0.5＝2，故 P(Y＞5)＝P(Z＞2)＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.0228。亦即約有 2.28% 的社會新鮮人首份月薪超過 5 萬元，換算每 1000 人約 23 人。若採查表值 Φ(2)＝0.9772，答案可寫為 0.0228 或 2.28%。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。