假設T 大學大一全體學生統計學期末考的分數服從常態分配。隨機 抽取八位同學，其考試分數為65, 70, 75, 80, 75, 80, 65, 90。 （每小題…

題目

假設T 大學大一全體學生統計學期末考的分數服從常態分配。隨機 抽取八位同學，其考試分數為65, 70, 75, 80, 75, 80, 65, 90。 （每小題5 分，共30 分） 若母體變異數未知，其不偏估計量和估計值為何？ 續上題，此估計量服從什麼分配？ 請估計母體標準差的95%信賴區間。 請檢定母體變異數是否為100 分。顯著水準為0.05。 請估計母體平均值的90%信賴區間，假設母體變異數未知。 計算機率，p(S2>80)，S2為樣本變異數。假設母體變異數為258.422 分。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、不偏估計量與估計值：母體變異數 σ² 的不偏估計量為樣本變異數 S²=Σ(Xi−X̄)²/(n−1)。本例 n=8，ΣXi=600，X̄=75，離差平方和為 (−10)²+(−5)²+0²+5²+0²+5²+(−10)²+15²=500，故 S²=500/7=71.43（分²），此即 σ² 的不偏估計值；母體標準差則以 S=√71.43=8.45 分估計。
• 二、估計量的抽樣分配：因母體為常態分配，(n−1)S²/σ² 服從自由度 n−1=7 的卡方分配 χ²(7)。亦即 S² 是「卡方分配乘上 σ²/(n−1)」的尺度轉換分配，期望值為 σ²、變異數為 2σ⁴/(n−1)。此分配特性是後續建構信賴區間與進行檢定的基礎。
• 三、母體標準差之 95% 信賴區間：由 P(χ²0.975(7)≤(n−1)S²/σ²≤χ²0.025(7))=0.95，查表 χ²0.975(7)=1.690、χ²0.025(7)=16.013，得 σ² 的區間為 [500/16.013, 500/1.690]=[31.22, 295.86]，開根號後 σ 的 95% 信賴區間約為 [5.59, 17.20] 分。
• 四、母體變異數是否為 100 之檢定：H0：σ²=100，H1：σ²≠100，α=0.05。檢定統計量 χ²=(n−1)S²/σ0²=500/100=5.0，自由度 7；雙尾拒絕域為 χ²<1.690 或 χ²>16.013。5.0 落在不拒絕區，故不拒絕 H0，尚無充分證據認為母體變異數異於 100 分。
• 五、母體平均數之 90% 信賴區間：母體變異數未知，改以 t 分配，X̄±t0.05(7)×S/√n=75±1.895×(8.4515/2.8284)=75±5.66，得 [69.34, 80.66] 分。其中 t0.05(7)=1.895 為雙尾各 0.05、合計 0.10 的臨界值；樣本數僅 8，區間偏寬屬正常現象。
• 六、計算 P(S²>80)：當 σ²=258.422 時，P(S²>80)=P((n−1)S²/σ²>7×80/258.422)=P(χ²(7)>2.167)。查表得 χ²0.95(7)=2.167，故所求機率約為 0.95。此題的 σ² 數值顯然是配合臨界值設計，考生可直接以樞紐量轉換後查表回答。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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