民國114年 普通考試 經建行政 統計學概要考古題
民國114年 普通考試 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
研究者想知道A 大學的管院碩士生主修學系是否和大學生主修學系
相關，隨機抽取的樣本資料整理如表。
大學主修\碩士主修
企管
財管
會計
其他
總和
企管
財管
會計
其他
總和
請檢定碩士生主修學系和大學生主修學系是否相關。顯著水準為
0.05。（10 分）
計算機率，P（大學生主修其他或碩士生主修企管）。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定方法與假設：本題探討兩個類別變數（大學主修、碩士主修）是否獨立，採 Pearson 卡方獨立性檢定（chi-square test of independence）。虛無假設 H0：兩變數相互獨立（無相關）；對立假設 H1：兩變數不獨立（有相關）。顯著水準 α=0.05。表中僅呈現 4×4 的分類架構，未附觀察次數 O_ij，因此須以符號表示，不能直接算出檢定值。
- 二、檢定統計量與抽樣分配：χ²=ΣΣ(O_ij−E_ij)²/E_ij，其中期望次數 E_ij=R_i×C_j/n，R_i 為第 i 列邊際和、C_j 為第 j 行邊際和、n 為總樣本數。在 H0 為真下，χ² 近似服從自由度 (r−1)(c−1) 的卡方分配；本例 r=c=4，df=3×3=9，查表 χ²0.05(9)=16.919，拒絕域為 χ²>16.919。
- 三、判定規則與結論寫法：若算得 χ² 大於 16.919（或 p 值小於 0.05），則拒絕 H0，認為碩士主修與大學主修有關聯；反之則不拒絕 H0，尚無證據顯示兩者相關。另須注意期望次數小於 5 的格子比例不宜超過 20%，否則應合併類別或改用 Fisher 精確檢定。因觀察值從缺，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 四、機率計算：令 A 為「大學生主修其他」、B 為「碩士生主修企管」，由加法法則 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=R_4/n+C_1/n−n_41/n，即「其他」列邊際比例加上「企管」行邊際比例，再扣除同時屬於兩者的聯合比例。此即邊際機率和減去交集，實際數值須有完整 4×4 觀察次數表方能代入；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
假設T 大學大一全體學生統計學期末考的分數服從常態分配。隨機
抽取八位同學，其考試分數為65, 70, 75, 80, 75, 80, 65, 90。
（每小題5 分，共30 分）
若母體變異數未知，其不偏估計量和估計值為何？
續上題，此估計量服從什麼分配？
請估計母體標準差的95%信賴區間。
請檢定母體變異數是否為100 分。顯著水準為0.05。
請估計母體平均值的90%信賴區間，假設母體變異數未知。
計算機率，p(S2>80)，S2為樣本變異數。假設母體變異數為258.422 分。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、不偏估計量與估計值：母體變異數 σ² 的不偏估計量為樣本變異數 S²=Σ(Xi−X̄)²/(n−1)。本例 n=8，ΣXi=600，X̄=75，離差平方和為 (−10)²+(−5)²+0²+5²+0²+5²+(−10)²+15²=500，故 S²=500/7=71.43（分²），此即 σ² 的不偏估計值；母體標準差則以 S=√71.43=8.45 分估計。
- 二、估計量的抽樣分配：因母體為常態分配，(n−1)S²/σ² 服從自由度 n−1=7 的卡方分配 χ²(7)。亦即 S² 是「卡方分配乘上 σ²/(n−1)」的尺度轉換分配，期望值為 σ²、變異數為 2σ⁴/(n−1)。此分配特性是後續建構信賴區間與進行檢定的基礎。
- 三、母體標準差之 95% 信賴區間：由 P(χ²0.975(7)≤(n−1)S²/σ²≤χ²0.025(7))=0.95，查表 χ²0.975(7)=1.690、χ²0.025(7)=16.013，得 σ² 的區間為 [500/16.013, 500/1.690]=[31.22, 295.86]，開根號後 σ 的 95% 信賴區間約為 [5.59, 17.20] 分。
- 四、母體變異數是否為 100 之檢定：H0：σ²=100，H1：σ²≠100，α=0.05。檢定統計量 χ²=(n−1)S²/σ0²=500/100=5.0，自由度 7；雙尾拒絕域為 χ²<1.690 或 χ²>16.013。5.0 落在不拒絕區，故不拒絕 H0，尚無充分證據認為母體變異數異於 100 分。
- 五、母體平均數之 90% 信賴區間：母體變異數未知，改以 t 分配，X̄±t0.05(7)×S/√n=75±1.895×(8.4515/2.8284)=75±5.66，得 [69.34, 80.66] 分。其中 t0.05(7)=1.895 為雙尾各 0.05、合計 0.10 的臨界值；樣本數僅 8，區間偏寬屬正常現象。
- 六、計算 P(S²>80)：當 σ²=258.422 時，P(S²>80)=P((n−1)S²/σ²>7×80/258.422)=P(χ²(7)>2.167)。查表得 χ²0.95(7)=2.167，故所求機率約為 0.95。此題的 σ² 數值顯然是配合臨界值設計，考生可直接以樞紐量轉換後查表回答。
高速公路新竹站巡警想知道貨車平均行駛速度是否過高。隨機抽取
81（n=81）輛貨車測其車速，其平均速度為105 公里/每小時且標準
差為6 公里/每小時。假設母體為常態分配。
請問貨車平均速度是否超過100 公里/小時。顯著水準0.05。
寫出虛無假設H0 和對立假設H1。（5 分）
寫出檢定統計量在H0為真下的分配，並說明何以為此分配。（5 分）
分別計算統計量值和p 值，並說明檢定結果。（5 分）
續
母體平均值未知時，其最佳估計量為何？若欲使此估計量估計母
體平均值的誤差最大是0.5 公里/小時的機率至少為0.9，請問樣
本大小應該多少？（5 分）
續上題，若機率更改為至少0.95，請問樣本大小應該多少？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設設定：設 μ 為該站貨車母體平均車速。H0：μ≤100（平均速度未超過 100 公里/小時）；H1：μ>100（平均速度超過 100 公里/小時），屬右尾檢定，α=0.05。已知 n=81、X̄=105、S=6，母體為常態分配。
- 二、檢定統計量及其分配：採 Z=(X̄−μ0)/(S/√n)。因母體為常態，X̄ 本身服從 N(μ, σ²/n)；當 n=81 屬大樣本，以 S 替代 σ 的誤差可忽略（嚴格言之為 t(80)，其臨界值與 z 幾乎相同）。在 H0 為真（取 μ=100）下，檢定統計量近似服從標準常態分配 N(0,1)，此即常態母體與中央極限定理之結果。
- 三、統計量值、p 值與結論：Z=(105−100)/(6/9)=5/0.6667=7.5。p 值=P(Z>7.5)≈0.000，遠小於 0.05；以臨界值法，z0.05=1.645，因 7.5>1.645，故拒絕 H0，認定貨車平均速度顯著超過 100 公里/小時。
- 四、最佳估計量與樣本大小（誤差 0.5、機率至少 0.9）：μ 的最佳估計量為樣本平均數 X̄（不偏且變異數最小）。令 P(|X̄−μ|≤0.5)≥0.9，即 z0.05×σ/√n≤0.5，n≥(1.645×6/0.5)²=(19.74)²=389.7，無條件進位取 n=390。此處以樣本標準差 6 作為 σ 的估計值。
- 五、機率改為至少 0.95：改用 z0.025=1.96，n≥(1.96×6/0.5)²=(23.52)²=553.2，取 n=554。可見信心水準提高或容許誤差縮小，均須增加樣本數；實務上若 σ 未知，宜先以 pilot study 估計或採保守值，以免樣本不足。
甲賣場以三種廣告方式（報紙、網路、直銷）促銷產品。每種廣告下，
隨機抽取5 家分店並調查其年營業額如表。單位：百萬元。
報紙
網路
直銷
平均值
變異數
27.5
26.5
每種廣告下的年平均營業額是否都相等？請列出變異數分析表並
檢定結果。顯著水準為0.05。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設與模型設定：三種廣告方式視為三個母體，H0：μ報紙=μ網路=μ直銷（三種廣告的年平均營業額相等）；H1：至少有一組平均數不同。採單因子變異數分析（one-way ANOVA），每組 n=5、組數 k=3、總樣本 N=15，因子為固定效果。
- 二、變異數分析表的結構：總平方和 SST=ΣΣ(Xij−X̄..)²，組間平方和 SSA=Σni(X̄i−X̄..)²，組內平方和 SSE=SST−SSA。自由度分別為 N−1=14、k−1=2、N−k=12；均方 MSA=SSA/2、MSE=SSE/12；檢定統計量 F=MSA/MSE。表中須依序列出變異來源、平方和、自由度、均方與 F 值。
- 三、檢定與判定：在 H0 為真且常態、變異數同質、觀察值獨立之下，F 服從 F(2,12)；α=0.05 的臨界值 F0.05(2,12)=3.885，若 F>3.885 則拒絕 H0，否則不拒絕。題幹僅列出部分平均值（27.5、26.5）與空白變異數欄，未提供 15 筆原始資料，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生應以符號列式並註明所需數據。
- 四、資料齊備時的計算提示與效果量：先求總平均 X̄..，再以各組平均求 SSA、以組內離差求 SSE，代入 F 值後與 3.885 比較。並可計算 η²=SSA/SST，說明廣告方式對營業額變異的解釋比例，作為統計顯著之外的實務意涵補充。
（列出H0 和H1，寫出檢定統計量及其在H0 為真下的分配，以臨
界值方法決定檢定結果。）
上題的檢定結果要可信，需要有的假設條件為何？（5 分）
續 的檢定結果，請檢定報紙和直銷廣告的年平均營業額是否相
等。顯著水準為0.05。（10 分）
（列出H0 和H1，寫出檢定統計量及其在H0 為真下的分配，說明檢
定結果。）
附表一：z 值表
附表二：t 值表
附表三：
附表四：
0.05( 1, 2)
F
v v
值表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、H0、H1 與檢定統計量：H0：μ報紙=μ網路=μ直銷；H1：不全相等。檢定統計量 F=MSA/MSE，在 H0 為真下服從 F(k−1, N−k)=F(2,12)。以臨界值法判斷：F0.05(2,12)=3.885，若 F>3.885 則拒絕 H0，否則不拒絕。原始資料未完整提供，F 值無法算出，屬題目資料缺漏。
- 二、檢定結果可信所需之假設（5 分）：(1) 各母體為常態分配（normality）；(2) 各組變異數同質（homogeneity of variance）；(3) 各觀察值相互獨立（independence）；(4) 各組為隨機樣本、因子為固定效果。各組樣本數相等（n=5）時，ANOVA 對常態性偏離具相當穩健性；若變異數不同質，宜改用 Welch ANOVA 或 Brown-Forsythe 檢定。
- 三、報紙與直銷之事後比較：H0：μ報紙=μ直銷，H1：μ報紙≠μ直銷，α=0.05。檢定統計量 t=(X̄1−X̄3)/√(MSE×(1/n1+1/n3))，在 H0 下服從 t(N−k)=t(12)，雙尾臨界值 t0.025(12)=2.179，若 |t|>2.179 則拒絕 H0。此即 LSD（least significant difference）法，須在 ANOVA 已拒絕 H0 後方可使用。
- 四、判定與方法限制：LSD 逐對比較會使整體型一誤差膨脹，宜改用 Tukey HSD 或 Bonferroni 調整（α'=0.05/3≈0.0167，對應 t0.0083(12)）。因 MSE 與第三組平均數未完整提供，僅知部分平均數 27.5、26.5，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生應列出公式、代入平均數差並以 MSE 計算後與臨界值比較。